1、直线与方程小结与复习一、 【教学目标】重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用自主探究点：1由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；2能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；3能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错 易
2、混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究学法与教具1学法：讲练结合，自主探究2教具：多媒体课件，三角板二、 【知识梳理】直线的方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义范围直线的斜率定义公式直线方程的五种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式两条直线的位置关系平行与垂直的判定两直线相交直线对称问题点关于直线对称直线关于直线对称平行的判定方法垂直的判定方法直线关于点对称三种距离计算点与点的距离点与线的距离平行线的距离求交点坐标二、 【知识梳理】1直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当直线 与 轴相交时，取 轴作为基准，
3、轴 _与直线 _方向之间所成的角lxxxl叫做直线 的倾斜角当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_l倾斜角 的范围为_（2）直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 表示，即 k_，倾斜角是 的直线斜率不存在k90过两点的直线的斜率公式：经过两点 ， 的直线的斜率公式为 _当1(,)Pxy2(,)xy12)xk时，直线的斜率_12（3）直线的倾斜角 与斜率 的关系k当 为锐角时， 越大 越_；当 为钝角时， 越大 越_k2直线方程的五种基本形式名称 几何条件 方程 局限性点斜式 过点 ，斜率为0,xyk不含_的直线斜截式 斜率为 ，纵截距为kb不含_的
4、直线两点式过两点 和1,xy（22,）1y 不含_的直线截距式横截距为 ，纵截距为ab0b不含_和_的直线一般式 ,ABC2平面直角坐标系内的直线都适用答案：1 （1） 正向，向上， ； ； （2） 正切值， ；0180tan ，不存在 （3）大，大21yx2 ， ， ， ， 00()kxykb1122yxyab20()AxByCAB垂直于 轴；垂直于 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点3两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线 、 ，其斜率分别为 、 ，则有 _特别地，当直线的1l21k212/l斜率 、 都不存在时， 与 _1l2（2）两条直线垂直如果两条直线斜率
5、 、 存在，设为 、 ，则 _，当一条直线斜率为零，另一条1l21212l直线斜率不存在时，两直线_4两直线相交交点：直线 ： 和 ： 的公共点的坐标与方程组1l10AxByC2l20AxByC的解一一对应122xy相交 方程组有_，交点坐标就是方程组的解；平行 方程组_；重合 方程组有_5三种距离公式（1）点 、 间的距离：1,Axy2,ByB（2）点 到直线 ： 的距离：0,Pl0AxCd（3）两平行直线 ： 与 ： （ ）间的距离为1l1y2l20AxByC12_6直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？三、
6、 【范例导航】1、两直线间的平行与垂直问题例 1 （1）已知两直线 ： ， ： ，若 ，求实数 的值；1l260xmy2l320mxy12/lm（2）已知两直线 ： 和 ： 若 ，求实数 的a1aa值【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 和 ， ， 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜l212/l12k12l12k率是多少一定要特别注意（2）若直线 和 有斜截式方程 ： ， ： ，则 l 1yxb2l2ykxb12l12k设 ： ， ： 则： 1l10AxByC2l0ABC12l 0AB【解答】（1）方法一：当 时， ： ， ：
7、 ， ；m16l/当 时， ： ， ： ，0m1l2x2l3myx由 且 ，2363 故所求实数 的值为 或 01方法二:直线 ： ， ： 平行的等价条件是：1lAxByC2l20AxByC且 或 ，由所给直线方程可得：12B211且 且3m60m3mm或 ，故所求实数 的值为 或 0（2）方法一：由直线 的方程知其斜率为 ，1l2a当 时，直线 的斜率不存在， 与 不垂直；1a21l当 时，直线 的斜率为 ，la由 13a故所求实数 的值为 2方法二: 直线 ： ， ： 垂直的等价条件是 1l10AxByC2l20AxByC120AB由所给直线方程可得： ，故所求实数 的值为 3aaa3【设
8、计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论变式训练:已知两直线 ： 和 ： 试确定 、 的值，使1l80mxyn2l10xmyn（1） 与 相交于点 ；l2,P（2） ；/（3） ，且 在 轴上的截距为 12l1ly1xyMABCDOxyMCBDAO答案：（1）由题意得： ，解得 2801mn1,7mn（2）当 时，显然 不平行于 ；0l2l当 时，由 得 ，801n ，或 42mn4n即 时或 时， ,212/l（3）当且仅当 ，即 时， ，又 ， 808n8即 ， 时，
9、且 在 轴上的截距为 0n12l1ly2、点到直线距离问题例 2 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是 且它的对角线的交点是10,340,xyx求这个平行四边形其他两边所在直线方程(3,)M【分析】因为斜率相等,所以其他两条直线可以设为然后利用点到直线的距离公式120,0,xycxyc【解答】 ABCD四 边 形 是 平 行 四 边 形 /ABCD设直线 的方程为 1xyc由点 到直线 的距离相等，得：M, 122|3|1c解得 11c或 （ 舍 去 ） c同理，由点 到直线 的距离相等，得：,ADBC222|3|3411c22164c或 （ 舍 去 ）因此，其他两边所在直线的方程是26
10、c0,360xyxy【设计意图】本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简化运算变式训练：已知正方形的中心为点 ，一条边所在(1,0)M的直线的方程是 求正方形其他三边所在直线的方程350,xyxyMCAHBO【分析】本题先设与已知直线平行的直线为 130,xyc另两条都与已知直线垂直，设为 23,然后利用点到直线的距离公式【解答】 ABCD四 边 形 是 正 方 形 /ADBC由点 到直线 的距离相等，得：M,122|()30|(1)305c1175c或 （ 舍 去 ）17cADBAB直 线 的 方 程 可 设 为 230,xyc由点 到直线 的距离相等
11、M,22|3(1)0|(1)05c2293c或综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是 30,10,30xyxyxy3、三角形问题例 3. 已知 的顶点 边上的中线 所在直线方程为 边上的高 所ABC(5,1)ABCM25,BH在直线方程为 求：20xy（1）顶点 的坐标；（2）直线 的方程【分析】第一问主要是考查设、求直线 ，熟练解答过程，先设直线 为：A20xyc然后代入点 ；第二问考查用先设、求点 ，(5,1) B然后与点 求出直线 ，或者设直线 的点斜式方程，CBC再结合中点坐标公式求出斜率 k【解答】(1)由题意，得直线 的方程为 210xy解方程组 得点 的坐标为（4，3） 250
12、,1xy（2）解法一：设 则 于是有0(,)B05(,)2M与 005yx即 01xy025xy联 立 ， 解 得 点 的 坐 标 为 (-1,3)于是直线 的方程为 C69解法二：设直线 的方程为 ，即 3(4)k340kk解方程组 得 25,(4)0xyk8,21xyxylPNPMMOxyCBA O因为点 是线段 的中点，所以点 的坐标是 MABM984(,)21(k把点 的坐标代入直线 的方程，得 解得 C1865065k所以直线 的方程为 6590xy解法三：设 ，则 (,)(2,)因为点 在直线 上，所以有 即 BH(21,y24xy解方程组 得点 的坐标为 ，点 的坐标为 4,25
13、0xyM,B(1,3)所以直线 的方程为 C69xy【设计意图】本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点 ，就避免了考B虑斜率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础变式训练：在 中， 边上的高所在的直线方程为 ，角 的平分线所在的直线方程为 ，ABC210xyA0y若点 的坐标为 ，求 边上的垂直平分线(1,2)AC【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的关系，或者利用点关于坐标轴
14、对称，求出点 关于 对称的点 ，也易求直线 B(1,2)AC【解答】 点在直线 的高线上，又在角 的平分线上A由 得210,xy(1,0)所以 而直线 是角 的平分线，所以ABk 1,ACk所以 边所在的直线方程为C()yx又 所以 边所在直线方程为2,2()x由 与 的直线方程联立可得 5,6所以 边上的垂直平分线所在的直线方程为 50y4、最值问题例 4已知点 ， .在直线 :M(3,5)(2,1)Nl34x上找一点 ,使 最小，并求出最小值P|【分析】本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问题的结合，由平面几何知，先作出与点 关于 对称的点 ，
15、连结 ，直线 与直线 的交点ll即为所求事实上,若点 是 上异于 的点，则Pl|MPN【解答】设与 关于 对称的点是 (3,5),4lk4,Mk的方程为 ，即 ()3yx430y解方程组 得30,x,1y线段 交直线 于 lQ()是 的中点， 的坐标为 Q (3,)xyPABAO连结 的直线方程为 NM1850xy解方程组 得,340xy,3.点 坐标为 此时， P8(,)|PMNPNM22(3)(153)【设计意图】本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使最大|MN变式训
16、练：函数 的最小值为_22148yxx【分析】本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用，把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题，把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反，体现了数形结合的重要的数学思想【解答】把 变形为22148yxx2()(0)()(0)表示动点2221xxP到两定点 、 的距离之和(,)A(,1)B(,)作点 关于 轴的称点x1|PP22(1)()10y10函 数 y有 最 小 值 为四、 【解法小结】1求直线方程直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数
17、的几何意义，注意方程形式的局限性（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程（2）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组） ，待定出其中的系数，从而求得直线方程2两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线 、 ，1l212/l， 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别1k12l12k注意3在运用两平行直线间的距离公式 时，一定要注意将两方程中的 ， 项系数化为分别12CdABxy相等的系数4两直线平行时，直线可设为 ，两直线垂直时，直
18、线可设为120,0axbycaxbyc，可以简化运算120,0axbycxyc五、 【布置作业】必做题：1已知直线 ： 与 ： 平行，则 的值是 1l341kxky2l320kxyk2若直线 ： 与直线 关于点 对称，则直线 恒过定点是 1ly2l,2l3. 已知 ，则 的最小值是 50xxy4设直线 经过点 ，则当点 与直线 的距离最大时，直线 的方程为 l,1ll答案：1 或 ；2 ；3 ； 4353250xy选做题：1已知直线 :10lkxykR（1）证明直线 过定点；（2）若直线 不经过第四象限，求 的取值范围；l（3）若直线 交 轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ，求使 面积最小时直线
19、的方程xAyBAOl2.已知直线 ： ，点 求：l2310y1,2（1）点 关于直线 的对称点 的坐标；Al（2）直线 ： 关于直线 的对称直线 的方程；m6xlm（3）直线 关于点 对称的直线 的方程l,答案：1（1）定点 ；（2） ；（3） ,10,240xy2. 【解答】（1）设 ，由已知 ，解得： ，,Axy 132 314xy 34,1（2）在直线 上取一点，如 ，则 关于直线 的对称点 必在直线 上设对称点m0M,lMm，则 ，得 ，,Mab 231ab 630,1设直线 与直线 的交点为 ，则由 得 mlN2360xy4,N又 经过点 ，由两点式得直线 的方程为 4,3m9610
20、2xy（3）方法一 在 ： 上任取两点，如 ， ，则 关于点l2310xy1,M4,3N,M1,2A的对称点 均在直线 上，易得 ， ，再由两点式可得 的方程为,MNl3,567l290xy方法二 ，设 的方程为 ，/ll 0xyC点 到两直线 ， 的距离相等，由点到直线的距离公式得： ，解1,A 226613C得 ， 的方程为 9Cl239方法三 设 为 上任意一点，则 关于点 的对称点为 ，,Pxy,Pxy1,2A,4Pxy点 在直线 上， ，即 l40x390xy【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点：（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题六、 【教后反思】1本教案的亮点是：在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法2本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解
