1、第 1 页 共 15 页高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1排序不等式定理 1 设 ，则有1212.,.nnab(倒序积和)1a（乱序积和）12.n
2、rrrab（顺序积和） b其中 是实数组 一个排列，等式当且仅当 或 时成立.1,2.nr1,2.n12.na12nb（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和 乱序积和 顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记 。12.nrrrSabab不等式 的意义：当 时，S 达到最大值12nrrr12,.,nrr.因此，首先证明 必须和 搭配，才能使 S 达到最大值.也即，设 且 和某个12.nabn nb搭配时有()k（1-1）.nnkrkrabab事实上，()()0nnnnkrkrrka不等式（1-1）告诉我们当 时，调换 和 的位置（其余 n-2 项不变） ，会使和 S 增加.同理，调整好bnr
3、和 后，再调整 和 会使和增加.经过 n 次调整后，和 S 达到最大值 ，这就证nab1nab 12 nabab明了 .12.nrrr12 .na再证不等式左端,第 2 页 共 15 页由 及已证明的不等式右端，1211.,.nnabb得1211(.)nnaa12(.)nrrrab即 .bb12nrrr例 1 （美国第 3 届中学生数学竞赛题）设 a,b,c 是正数，求证： .3()abcabc思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设 ，则有abclglabc根据排序不等式有： lllglcaggabcab以上两式相加，两边再分别加上 llc有 3(l)()(gl)ca
4、即 gl3abbc故 .()ac例 2 设 a,b,c ，求证： .R22233abcabcc a思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设 ，则 且abc22abc1ba根据排序不等式，有 222ccab2221b两式相加除以 2，得第 3 页 共 15 页222abcacb再考虑 ，并且33ab1利用排序不等式， 333311 abcabc3333 ca两式相加并除以 2，即得 22233abcbca综上所述，原不等式得证.例 3 设 ，而 与 是 的两个排列.12120.,0.nnab1,2.ni1,2.njj,求证： . （1-2）11rsni
5、jrsrsrsba思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 （r= ）1snjrbd,2.n显然 2.n因为 ， 且 12.nb11.()rnr由排序不等式 1srd又因为 2.na所以 且 （注意到 0）11rnnrid11nsrrbaadr第 4 页 共 15 页故 111rs srnnnij jirirsabbad111nnnsrsrrrsd故 原式得证.2.均值不等式定理 2 设 是 n 个正数，则 称为均值不等式.12,.a()()HnGAnQ其中，12().na，().nG，12nA212.()naQn分别称为 的调和平均数，
6、几何平均数，算术平均数，均方根平均数.12,na证明： 先证 .()GA记 ，令 ，12.nnciiabc则 原不等式 2.n其中 1212.(.)nnbac取 使 则 12,.nx 11223,.,nxxb1.nxb由排序不等式，易证11122.nnxb第 5 页 共 15 页下证 ()AnQ因为 222112.(.)nnaa2221131()().()naaa2324().n1.nn所以 .2221.naa从上述证明知道，当且仅当 时，不等式取等号.12n下面证明 ()HnG对 n 个正数 ，应用 ，得12,.na()Hn1212.nnaa即 （等号成立的条件是显然的）.()HnG例 4
7、已知 ，求证： .201,0axy1log()log28xyaa证明：由于 ， ，,y有 2xyxyxyaa从而 log()log()log2axy下证 ， 即 。128xy14xy又因为 ，等号在 x= (这时 y= )时取得2()124所以 . loglog8xyaa例 5（IMO）设 a,b,c 是正实数，且满足 abc=1.证明： 11()()()abca第 6 页 共 15 页证明：令 ，其中 x,y,z 是正实数，将原不等式变形为,yzabcxx（2-1）()()()yzxyz记 ，,uyzvw注意到 u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数
8、，那么 ， （2-1）式成立.0uxyz如果这三个数都大于 0，由算术几何平均不等式1()2vzx同理可证， ，wyu于是 vxz即 ， （2-1）式得证.uxz例 6 已知 ，且 .12,.0na12.1na求证： .2313121. .2nnnana 思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为 .11()niiiia左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项 可看为2ia倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为，112()2nniiiiaa对 ，利用 有12,.na()AH112ini iia第 7 页 共 15 页即 2221121ni
9、ni ian所以 .21112()2nnni iii ii ana 13柯西不等式定理3 设 ， （i=1,2,n）,恒有不等式 ，当且仅当 时，iabR2211.()nniiiaba12.nbbaa等式成立.构造二次函数证明当 或 时，不等式显然成立021naa 021nb令 ，当 中至少有一个不为零时，可知 A0niA1iiB1iC1na,21构造二次函数 ，展开得： xAxf2021212niiii iii bxabxxf故 的判别式f 042CB移项得 ，得证。2C向量法证明令 .则对向量 有 ，由nnba,2121 ， ,1,cos， ，得 当且nb21 nii ba12212, .
10、121221 nininii ba仅当 ，即 平行时等号成立。,cos,数学归纳法证明i ) 当 n=1时，有 ，不等式成立。2121ba当 n=2时， 2122 baba第 8 页 共 15 页21212212121 bababa因为 ，故有22b222当且仅当 ，即 时等号成立。11a2bii）假设 n=k 时不等式成立，即221221221 kkk bbab 当且仅当 时等号成立。kbaa21那么当 n=k+1时，21212211 kkkk babababa 2121221 21212121 kk kkkkk ba nnbaa当且仅当 时等号成立，1112121, kkkkk abab即
11、 时等号成立。121k于是 n=k+1时不等式成立。由 i ) ii）可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数 有柯西拉nnba,;,2121格朗日恒等式21122232 1311 12222 nnn nnn bababa 由实数性质 可得柯西不等式成立。R0以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。第 9 页 共 15 页柯西不等式的推广命题1若级数 收敛，则有不
12、等式 。niniba1212与 niinii bab1221证明： 收敛，nii12,nininiia121210收敛，且iniba1 nininii bb121221lmllm从而有不等式 成立。niiniia1221命题2 3若级数 收敛，且对 有 ，则对定义在 上的任意连续函niniba1212与 Nnniinii bab1221 ba,数 有不等式xgf,dxgxfdxgfbababa 22证明：因为函数 在区间 上连续，所以函数 在 上可积，将f, xgff2、与 ba,区间 n 等分，取每个小区间的左端点为 ，由定积分的定义得：ba, ixgdxgfdxfxinibainiba i
13、inii 122122 lm,lm,令 ，则 收敛，由柯西不等式得221,f nini1212与从而有不等式 niiniiniii niiniiniii xgxfxgfff 121221 1211 lmllm,。dgfdxfbababa 22赫尔德不等式 4第 10 页 共 15 页设 满足 则： ，等号,0),2,1(0,1 qpniba ,1qpqnipninii bab11成立的充分必要条件是 .;,21nibapi 证明：首先证明 时，对任何正数 A 及 B，有 .q ABqp1对凹函数 有：,lnxf .1lnl1l1ln ABqpABqApBqAp PP 令 代入以上不等式并对于 ，把这 n 个不等式相加.,11qnikpnikbak,2即,11111 qpbqapbanknikiknk qnipik成立。等号成立的充分必要条件是： 即qnipninii 111 ,11niqinipiba例 7 设 ，求证： .12,.nxR2211 123.n nxxx思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.证明：因为 0，故由柯西不等式，得12,.nx22113321223 131(.)(.).()nn nnnxxx x所以 .2211 123.n nxxx
