1、1高考数学概率统计复习知识结构1.注意：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件。定义 符号表示互斥事件若 AB 为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件ABP(AB)P(A)P (B)12.古典概型：具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型。（1）试验的所有可能结果为有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相等。 （3）古典概型的概率公式：P(A) .事 件 A包 含 的 可 能 结 果 数试 验 的 所 有 可 能 结 果 数
2、mn3.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。几何概型的概率公式：设某一事件（也是 S 中的某一区域） ，S 包含 A，它的量度大小（长度、面积或体积）为 ，考虑到均匀分布性，事件 A 发生的()概率 .()PS24.统计学中的几个基本概念： （1）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。（2）平均数计算公式：一般地，如果有 n 个数 ，则 .nx,21n21x（3）加权平均数：如果 n 个数中， 1x出现 f次， 出现 f次， k出现 kf次（这里 ） ，那么，根据平均数的定义，这 n 个数的平均数可以表示为f
3、fk21，这样求得的平均数 x叫做加权平均数，其中 叫做权。nnxx kff,21（4）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（5）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。（6）方差：在一组数据 中，各数据与它们的平均数 x的差的平方的平均数，叫做nx,21这组数据的方差，通常用“s 2”表示。方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。（7）方差计算公式： .)
4、()()(12222 xxxns n简化计算公式，有： 21n也可写成 .212 )(xxsn此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。（8）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 )()()( 22212 xxxnn（9）如果一组数据 n、 321的平均数为 ，方差为 2s，标准差为 s，则数据 baxbax、1 的平均数为 bxa，方差为 2a，标准差为 as.5.抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。（1）简单随机抽样：设一个总体的个体数为 N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样
5、为简单随机抽样。如从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 Nn.简单随机抽样的特点：逐个不放回抽样、等概率抽样，体现了抽样的客观性与公平性，是其他复杂抽样方法的基础。随机抽样常用方法：抽签法：先将总体中的所有个体（共有 N 个）编号（号码可从 1 到 N） ，3并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作） ，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样本。适用范围：总体的个体数不多时。优点：简便易行。
6、随机数表法： 随机数表抽样“三步曲” ：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码。（2）系统抽样（又叫等距抽样）：当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。系统抽样的步骤：采用随机的方式将总体中的个体编号，为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等等。为将整个的编号分段（即分成几个部分） ，要确定分段的间隔 k：当 Nn（N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k= Nn；当 不是整数时，通过简单随机抽样先从总体中剔除
7、一些个体使剩下的总体中个体的个数 能被 n 整除，这时 k= .在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号 l.按照事先确定的规则抽取样本（通常是将 l加上间隔 k，得到第 2 个编号 l+k,第 3 个编号l+2k，这样继续下去，直到获取整个样本） 。系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔。（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将
8、总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层。常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个数比较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样总体由差异明显的几部分组成不 放 回 抽 样 和 放 回 抽 样 ： 在 抽 样 中 ， 如 果 每 次 抽 出 个 体 后 不 再 将 它 放 回 总 体 ，
9、称 这 样 的 抽样 为 不 放 回 抽 样 。 随 机 抽 样 、 系 统 抽 样 、 分 层 抽 样 都 是 不 放 回 抽 样 。 如 果 每 次 抽 出 个体 后 再 将 它 放 回 总 体 ， 称 这 样 的 抽 样 为 放 回 抽 样 。6.统计估计：（1）概率估计：用频率来估计概率。（2）参数估计：4样本的平均值作为总体均值的点估计值， )(12nxxn ；样本的方差（标准差）作为总体方差（标准差）的点估计值，；)()()(1- 2222 xxns n注意：不是除以 n，而是除以 n-1，除以 n-1 是为了消除系统性偏差 。 叫做均值的 的区间估计；把 叫做均值的 的区间估计；
10、,sx,sx2（3）计算平均数和方差时，常取各区间段的中点值进行计算；例 1.给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率；事件 A 与 B 互斥，则有 P(A)1P( B)；其中，正确命题为_（填序号）例 2.（2014 浙江）已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3，n3) ，从乙盒中随机抽取 i(i1，2)个球放入甲盒中。放入 i 个球后，从甲盒中取 1个球是红球的概率记为 pi(i 1，2) ，则 p1_p2（比较大小）例 3.在区间 内随机取两个数分别记为 ，则使得函数
11、 有零， ， ()=2+22+点的概率为_例 4.下列四个结论，其中正确的有_（填序号）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；一个样本的方差是 ，则这组样本数据的总和等 2=120(13)2+(23)2+(203)2于 60；数据 的方差为 ，则数据 的方差为 1， 2， 3， ， 2 21， 22， 23， ， 2 425例 5.某学校为了调查高三年级的 200 名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科
12、学生进行编号，从 001 到 200，抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（ ）A.分层抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，分层抽样 C.分层抽样，系统抽样 D.简单随机抽样，系统抽样变式训练：1.正三棱锥 的所有棱长都相等，从该三棱锥 6 条棱的中点任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的 2 个三角形全等的概率为_2.如图，某地区有 7 条南北向街道，5 条东西街道，从 A 点走向 B 点最短的走法中，必须经过C 点的概率_3.（2014 陕西）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正
13、方形边长的概率为_4.（2011 陕西）甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是_5.（2016 山东）在 上随机的取一个数 ，则事件“直线 与圆,1kkxy=相952=+)(yx交”发生的概率为_6.（2016 全国 II）从区间 0,1随机抽取 2n个数 1x, 2， ， nx， 1y， 2， ny，构成 n个数对 1,xy， 2， ,xy，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为_ 7.甲乙两人各自在 300 米长的
14、直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50米的概率是_ 8.甲每次解答一道几何体所用的时间在 5 至 7 分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在 6 至8 分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为_69.（2015 湖北）在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率，0,1,xy1p12xy为事件“ ”的概率， 为事件“ ”的概率，则（ ）2p|2xy3p2A. B. C. D. 13131p321p10.已知矩形 ABCD 中，AB= ，AD=1，在矩形 ABCD 内部随机取一个点 E，则的概率为_32AEB11.如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1
15、D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1 上的点( 点 E 与 B1 不重合)，且 EHA 1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC 1 相交，交点分别为 F，G.若AB2AA 12a，EFa，B 1EB 1F，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点，则该点取自于几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为_12.已知三个正数 满足 ， ， （1）若 是从 中任取的三个数，求 能构成三角形三边长的概率；， ， 110， 210， 910 ， ， （2）若 是从 中任取的三个数，求 能构成三角形三边长的概率。， ， (0， 1) ， ， 13.已知数据 的平均数为 ，数
16、据 的平均数为 ，且 ，12,nxx12,myyx若 ， 的平均数 .12,n,myza则当 时， 的大小关系为（ ）0a,A. B. C. D.mn214.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为 1625，则该队员每次罚球的命中率为_15.某班级有 50 名学生，现用系统抽样的方法从这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号为 号，并按编号顺序平均分成 10 组 号， 号， 号 ，若1 50 (1 5 6 10 ， 46 50)在第三组抽到的编号是 13，则在第七组抽到的编号是_ 716.（2013 湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为 ，则 的平均值为_X17.（2010 全国）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3，各专家独立评审。（1）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；（2）求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率
