1、- 1 -平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 （2）单位向量：长度等于 个单位的向量1（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有零向量)三点 A、B、C 共线 共线ACB、（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。 a 的相反向量是 -a（6）向量表示
2、：几何表示法 ；字母 a 表示；坐标表示：a j（ ， ）.（7）向量的模：设 OAa，则有向线段 OA的长度叫做向量 a的长度或模，记作： |a.（ 。 ）222|,|xyxy（8）零向量：长度为 的向量。 aO aO.0【例题】1.下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件b是它们的起点相同，终点相同。 （3）若 ，则 是平行四边形。ABDC（4）若 是平行四边形，则 。 （5）若 ，则 。 （6）若ABCD,abca，则 。其中正确的是_/,abc/a（答：（4） （5） ）2.已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 _, 60|3|（答： ） ； 132、向量加法运算
3、：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点 baCAC- 2 -三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；结合律： ；abcc 0aa坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,bxy12,xy3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,xy12,abxy设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 A1212A【例题】（1） _； _；BCDABDC _ （答： ； ； ） ；()() DCB0（2）若正方形 的边长为 1， ，则A,abAc_|abc（答： ） ；2（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力(1,)123(3,4)(
4、,5)(,1)FF的终点坐标是 123F（答：（9,1） ）4、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；0当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， a 0a运算律： ； ； ab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy【例题】 （1）若 M（-3，-2） ，N（6，-1） ，且 ，则点 P 的坐标为1MPN3_（答： ） ；7(6,)3- 3 -5、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使0ab设 ， ， （ ） 。ba1,xy2,xy022()(|)ab【例题】 (1)若向量 ，当 _时 与 共线且方向相同(
5、,)(4,)abx（答：2） ；（2）已知 ， ， ，且 ，则 x _1,x2uavab/uv（答：4） ；6、向量垂直： .0|abb 120xy【例题】(1)已知 ，若 ，则 (1,2)(3,)OABmOABm（答： ） ；32（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ，则点 B 的坐标是_ 90B（答：(1,3)或（3，1） ） ；（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_ (,)nabnmm（答： ）(,)(,)ba或7、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时，0abab；当
6、与 反向时， ； 或 2ab运算律： ； ；abababcc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,xy2,xy12xy若 ，则 ，或 ,axy22axy2a设 ， ，则 ab ab0 x1x2y 1y20.12,b则 ab a b(b 0) x1y2 x2y1.- 4 -设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则ab1,axy2,bxyab；（注 ）122cosxy|a【例题】（1）ABC 中， ， ， ，则 _3| AB4| C5| BBCA（答：9） ；（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等1(,)(0,),2abcakbdcd4k于_ （答：1） ；（3）已知 ，则 等于_ （
7、答： ） ；,53A 23（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为abab与ab_（答： ）0（5）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值)2,()2,3(范围是_ （答： 或 且 ） ；4313（6）已知向量 （sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0） 。abc（1）若 x ，求向量 、 的夹角； （答：150） ；3c8、 在 上的投影：即 ，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|osb【例题】已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为|5|12baab_ （答： )512- 5 -平面向量高考经典试题一、选择题1已知向量 ， ，则 与(5,6)a(,5
8、)babA垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）(1)(1)nn， ， ， 2aA B C D423、若向量 满足 ， 的夹角为 60，则 =_；,ab|1,abab4、在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ C DA123ABCAB， ）A B C D2313135、若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）A B. EFOC. D. - 6 -6、已知平面向量 ，则向量 （ ）(1)(1)或ab32ab (2或 或 0)()二、填空题1、已知向量 若向量 ，则实数 的值是 241， ， ，a=b()ba+2、若向量
9、 的夹角为 ， ，则 ， 60aA3、在平面直角坐标系中，正方形 的对角线 的两端点分别为 ， ，OBC(0)O， (1B，则 ABC三、解答题：1、已知 ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( ，0)c(1)若 ，求 的值；0Ac(2)若 ，求 sinA 的值5c2、在 中，角 的对边分别为 BC ， ， tan37bcC， ， ，（1）求 ；os（2）若 ，且 ，求 52A9abc3、在 中， 分别是三个内角 的对边若 ，BC c， ， ABC， ， 4,2a，求 的面积 52cosA S4、设锐角三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，
10、 c， 2sinA（）求 B 的大小；（）若 ， ，求 b3a5c5、在 中， ， AC 1tn43taB（）求角 的大小；（）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长B 7- 7 -答案选择题1、A. 已知向量 ， ， ，则 与 垂直。(5,6)a(,5)b30abab2、C ，由 与 垂直可得：3nb=2， 。(,)1,0n23、 解析： ，2132ab4、A 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 =2 ， = ，则ADBCBA31 ，= 。()3CDABC1235、B 由向量的减法知 EFO6、D 12ab(12).，填空题- 8 -1、解析：已知向量 量 ， ，则241ab， ，
11、 ，=(2,4)ab()ba+2+4+=0，实数 =32、 【解析】 。22 1cos602ababA3、解析： (0,1),(1).BC解答题1、解: (1) (3,4)A(3,4)Ac由 得 (16250 253c(2) (,)B(,)Ccos520A 25sin1cosA2、解：（1） sintan3737coC，又 解得 22sicos1C18， 是锐角 ta0s（2） ， ， 52BA5co2ab20ab又 9b28141 22cs36caCc3、解： 由题意，得 为锐角， ， o5B， 5sinB， 10274si)sin(i A由正弦定理得 ， 710c48sin57SacBA4、解：（）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，2sinab2sinA1sin2B由 为锐角三角形得 ABC 6B（）根据余弦定理，得 22cosaB754所以， 7b- 9 -5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分 12 分解：（） ， ()CAB1345tant()CAB又 ， 034（） ， 边最大，即 34AB17又 ， 角 最小， 边为最小边tant0， ， ， ABC由 且 ，22si1tco4inA， 2，得 由 得： 17sisiniBCAsin2ABC所以，最小边 2
