1、抛物线)0(2pxy)0(2pxy)0(2pyx)0(2pyx定义平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl =点 M到直线 的距离l范围 0,xyR0,xyR,0xy,0xRy对称性 关于 轴对称 关于 轴对称( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p焦点焦点在对称轴上顶点 (0,)O离心率 =1e2px2px2py2py准线方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离 p焦半径 1(,)Axy12pFx12AFx12pAFy12pAFy焦 点弦 长AB12()xp12
2、()xp12()yp12()ypxyOlF xyOlFlFxyOxyOlF以 为直径的圆必与准线 相切ABl若 的倾斜角为 ，则AB2sinp若 的倾斜角为 ，则AB2cospAB124x21yp焦点弦 的几条性质 1(,)xy2BAFBF切线方程 00()ypx00()ypx00()xpy00()xpy一 直线与抛物线的位置关系直线 ，抛物线 ，消 y得：（1）当 k=0时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 与抛物线相切，一个切点；l0，直线 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛
3、物线必相切吗?（不一定）二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 ： 抛物线 ，lbkxy)0(p1 联立方程法：pxy20)(22bxp设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出1yA2B21,xo x2,yFy 1,A，bxkbxky2)(12121 21)(在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦 AB的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2b. 中点 , ， )(0xMx02 点差法：设交点坐标为 ， ，代入抛物线方程，得),(1yA),(2yB121pxypx将两式相减，可得 )(2)(21121
4、xpy2121xya. 在涉及斜率问题时， 21ypkABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ，),(0yxM，02121 ypypxy即 ，0kAB同理，对于抛物线 ，若直线 与抛物线相交于 两点，点)0(2pyxl BA、是弦 的中点，则有),(0yxMpxxkAB021（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 。 （ ,1）42、已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点
5、P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线2x的距离之和的最小值为 。 1723、直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分3yx24yx,AB,别为 ，则梯形 的面积为 。,PQAB484、设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴OF2(0)ypxAFAx正向的夹角为 ，则 为 。605、抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部24yxlF3x分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是 。AKl AK 436、已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且2:8CyxxAC，则 的面积为 。F87、
6、已知双曲线 ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 2145xy。8、在平面直角坐标系 中，有一定点 ,若线段 的垂直平分线过抛物线xoy(21)AO则该抛物线的方程是 。2(0)ypx9、在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 ，且过点P(2，4)，则该x抛物线的方程是 。 28y10、抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 。 2yx4304311、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 。3212、若曲线 | |1 与直线 没有公共点，则 、 分别应满足的条件
7、是 xykxbkb。 =0,-1 1kb13、已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ）CA.3 B.4 C.3 D.42214、已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线2(0)ypxF12()()Pxyy，3()Pxy上，且 ， 则有（ ）213x 2FP22213 132FP15、已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原()Axy2()B120)x(0)ypxO点,向量 , 满足 .设圆 的方程为OOABC。21212()()xyxy(1) 证明线段 是圆 的直径;ABC(2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值
8、为 时，求 p 的值。25解： (1)证明 1: ，22,()()OABOAOB，整理得: 22AB ， ，012120xy设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点 ,则 ，0MAB即 ，整理得: ，1212()()xy21212()()0xyxy故线段 是圆 的直径。ABC证明 2: ，22,()()OABOO，整理得: ，220AB.(1)12120xy设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则即 ，2112(,)yxx去分母得: ，1212()()0x点 满足上方程,展开并将(1)代入得:12,yyx，212()()x故线段 是圆 的直径。ABC证明 3: ，22,()()
9、OABOAOB，22 2OABOAB整理得: ， (1)012120xy以线段 AB 为直径的圆的方程为，22221111()()()()4xyxy展开并将(1)代入得: ，2220x故线段 是圆 的直径ABC(2)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy， ，又因 ，2211,(0)pxp214yxp12120xy， ， ， ，1212y211y12120,2124p，2212 1211()()444x yyppp2()所以圆心的轨迹方程为 ，22yx设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则，2221|()| |555pxyypd2()|5yp当 y=p 时,d 有最
10、小值 ,由题设得 ， .解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy， ，又因 ，2211,(0)pxp214yxp12120xy，1212y， ， ，2114yp12120,xy2124yp，2212 1211()()4xp2()y所以圆心的轨迹方程为 ，22yx设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 ,则 ，因为 x-2y+2=0 与 无52m22ypx公共点,所以当 x-2y-2=0 与 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为22ypx 5220()3xyp 将(2)代入(3)得 ， ，20py224()0pp2.解法 3: 设圆 C 的
11、圆心为 C(x,y),则12xy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1212|()|5xyd， ，又因 ，2211,(0)ypxp214yxp12120xy，1212y， ， ，124p12120,xy 2124yp21122 21121|()()| ()8|545y yd p，21()4p当 时,d 有最小值 ,由题设得 ， .12yp5p25p2p16、已知椭圆 C1: ,抛物线 C2: ,且 C1、C 2的公共弦 AB 过椭圆243xy2()(0)ymxC1的右焦点.(1)当 AB 轴时 ,求 、 的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上；mp(2)是否存在 、 的
12、值，使抛物线 C2的焦点恰在直线 AB 上？若存在，求出符合条件的 、m的值；若不存在，请说明理由.p解：（1）当 ABx 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为 x=1，从而点A 的坐标为（1， ）或（1， ）. 因为点 A 在抛物线上，所以 ，即 . 此时 C2的2323 p24989焦点坐标为（ ，0） ，该焦点不在直线 AB 上.69（2）解法一 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为.)1(xky由 消去 y 得 . 342 01248)43(22kxk设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （x 2,y2
13、）,则 x1,x2是方程的两根，x 1x 2 .438k因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦，所以 ，且)()()( 12xAB.112pxxp从而 .24()所以 ，即 .1263px28463k解得 .,k即因为 C2的焦点 在直线 上，所以 .),32(mF )1(xkykm31即 .6m或当 时，直线 AB 的方程为 ；3 )1(6xy当 时，直线 AB 的方程为 .6解法二 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 .)1(xkyAyBO x由 消去 y 得 . )1(382xkymxmkx38)(2因为 C2的焦点
14、在直线 上，),(F )1(所以 ，即 .代入有 .13kmk31xkx382即 . 094)2(42xx设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （x 2,y2）,则 x1,x2是方程的两根，x 1x 2 .3)(4k由 消去 y 得 . 134)(2yxk 0128)3(22x由于 x1,x2也是方程的两根，所以 x1x 2 .243k从而 . 解得 .3)(4k248k6,2即因为 C2的焦点 在直线 上，所以 .),(mF )1(xkykm31即 .36m或当 时，直线 AB 的方程为 ；)1(6xy当 时，直线 AB 的方程为 .36解法三 设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）
15、, （x 2,y2）,因为 AB 既过 C1的右焦点 ，又是过 C2的焦点 ，)0,(F),3(mF所以 .21)(2()( 21 xxpxpx 即 . 964321x由（）知 ，于是直线 AB 的斜率 ， 21 mxyk31202且直线 AB 的方程是 ,)1(3xmy所以 . 2(121xy又因为 ，所以 . 432yx 0)(4)(312121 xyyx将、代入得 ，即 .2m36m或当 时，直线 AB 的方程为 ；36m)1(6xy当 时，直线 AB 的方程为 .17、如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。xy82（1）求抛物线的焦点 F 的坐
16、标及准线 l 的方程；（2）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。（1）解：设抛物线的标准方程为 ，则 ，从而 因此焦点 的坐标为py28.4p)0,2(pF（2，0）.又准线方程的一般式为 。从而所求准线 l 的方程为 。x2x答（21）图（2）解法一：如图（21）图作 ACl，BDl ，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记 A、B 的横坐标分别为 xxxz，则|FA|AC| 解得4cos|2cos|2aFApaFApx，aFcos14|类似地有 ，解得 。aFBcos| aFBcos14|记直线 m 与 AB 的交点为 E，则，aaAAEAF 2sinco41cos421|)|(2| 所以 。故 。aP2sin4co| 8i2)(sinco|aFP
