1、第 1 页（共 25 页）高中数学组卷平面向量 1一选择题（共 18 小题）1 （2011漳浦县校级模拟）设向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“ 向量积”： 是一个向量，它的模| |sin，若 ，则|=（ ）A B C2 D42 （2011温州校级模拟）点 O 是ABC 所在平面上一点，若 ，则AOC的面积与ABC 的面积之比为（ ）A B C D3 （2010上虞市模拟）给定向量 且满足 ，若对任意向量 满足，则 的最大值与最小值之差为（ ）A2 B1 C D4 （2010东城区模拟）在 ABC 所在平面上有一点 P，满足 ，则 PBC 与ABC 面积之比是（ ）A B C D5 （2010
2、海淀区校级模拟）非零向量 若点 B 关于 所在直线的对称点为B1，则向量 + 为（ ）A B C D6若函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B 、C，使 ，则称此函数有“中位点”，下列函数y=cosx，y=|x1| ， y=x3+sinx2，y=cosx+x 2 中，没有“中位点” 的函数个数为（ ）A1 B2 C3 D47 （2012临海市校级模拟）称 为两个向量 、 间的“ 距离”若向量 、 满足： ； ； 对任意的 tR，恒有则（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D8 （2011上海）设 A1，A 2， A3，A 4，A 5 是平面上给定的 5 个不同点，则使= 成立的点 M
3、的个数为（ ）A0 B1 C5 D109 （2011上海）设 A1，A 2， A3，A 4 是平面上给定的 4 个不同点，则使成立的点 M 的个数为（ ）A0 B1 C2 D410 （2007天津）设两个向量 和 ，其中 ，m， 为实数若 ，则 的取值范围是（ ）A6，1 B4，8 C （ ，1 D 1，611 （2007浙江）若非零向量 ， 满足| |=| |，则（ ）A|2 | 2 | B|2 | 2 | C|2 |2 | D|2 |2 |12 （2005浙江）已知向量 ，| |=1，对任意 tR，恒有 | t | |，则（ ）A B （ ） C （ ） D （ + ）（ ）13 （200
4、5黑龙江）点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 =（4，3） （即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为| |个单位设开始时点 P 的坐标为（10，10） ，则 5秒后点 P 的坐标为（ ）A （2， 4） B （ 30，25） C （10， 5） D （5，10）14 （2016平度市模拟）已知 ，则 =（ ）A9 B3 C1 D215 （2016枣庄一模）设 D 为ABC 所在平面内一点， = + ，若= （ R） ，则 =（ ）A2 B3 C 2 D316 （2016 春 衡阳校级月考） 、 为基底向量，已知向量 = k ， =2 ，=3 3 ，若 A、B、D 三点共线，
5、则 k 的值是（ ）第 3 页（共 25 页）A2 B3 C 2 D317 （2016 春 简阳市校级月考）已知点 O，N 在 ABC 所在的平面内，且| |=| |=| |，+ + = ，则点 O，N 依次是 ABC 的（ ）A外心，内心 B外心，重心 C重心，外心 D重心，内心18 （2015朝阳区模拟）已知向量 ，| |=1，对任意 tR，恒有| t | |，则（ ）A B （ ） C （ ） D （ + ）（ ）二填空题（共 9 小题）19 （2009湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x +y ，则 x= ，y= 20 （2006湖南）如图， OMAB，点 P
6、在由射线 OM，线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 ，则 x 的取值范围是 ；当时，y 的取值范围是 21 （2013安徽模拟）已知 O 是直线 AB 外一点，平面 OAB 上一点 C 满足是线段 AB 和 OC 的交点，则 = 22 （2013新余二模）如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的边长为 1 的正方形，其中A，B，C ，D 都在矩形的边上，若向量 ，则 x2+y2= 第 4 页（共 25 页）23 （2010江阴市校级模拟）已知点 O 在ABC 内部，且有 ，则OAB与OBC 的面积之比为 24 （2010南安市校级模拟）已知单位向量 ， 满足：
7、（k0） ，则| |的最大值为 25 （2010聊城二模）已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足，则实数 的值为 26 （2007江西）如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点 M、N，若 =m ， =n ，则 m+n 的值为 27 （2005安徽） ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，则实数 m= 三解答题（共 3 小题）28 （2008上海）在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A1（ 1，a 1） ，A 2（2，a 2） ，A n（n，a n） ，简记为A n、若由 构成的数列b n满足bn+
8、1b n，n=1 ，2，其中 为方向与 y 轴正方向相同的单位向量，则称 An为 T 点列，（1）判断 ，是否为 T 点列，并说明理由；（2）若A n为 T 点列，且点 A2 在点 A1 的右上方、任取其中连续三点 Ak、A k+1、A k+2，判断A kAk+1Ak+2 的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形） ，并予以证明；（3）若A n为 T 点列，正整数 1mnpq 满足 m+q=n+p，求证：29 （2007 秋 朝阳区期末）设动点 M 的坐标为（x，y） （x、yR） ，向量 =（x2，y） ，=（x+2，y） ，且|a|+|b|=8，（I）求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方
9、程；第 5 页（共 25 页）（）过点 N（0，2）作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，若 （O 为坐标原点），是否存在直线 l，使得四边形 OAPB 为矩形，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由30 （2005安徽）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 =（3， 1）共线（）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 2+2 为定值第 6 页（共 25 页）高中数学组卷平面向量 1参考答案与试题解析一选择题（共 18 小题）1 （2011漳浦县校级模拟）设向量 与 的夹角为 ，定
10、义 与 的“ 向量积”： 是一个向量，它的模| |sin，若 ，则|=（ ）A B C2 D4【分析】先求向量 a 和向量 b 的夹角，然后利用所给公式求解即可【解答】解：cos= = ，（0， ） ， ，|ab|=|a|b|sin= 故选 C【点评】本题考查向量的模，是创新题，是中档题2 （2011温州校级模拟）点 O 是ABC 所在平面上一点，若 ，则AOC的面积与ABC 的面积之比为（ ）A B C D【分析】根据题意，以 OA、OB 为一组邻边作OADB，连接 OD 与 AB 交于点 E，易得AB 的中点为 E，由平行四边形法则易得 + =2将已知的向量等式变形，可得 = ，分析可得
11、O 的 AB 边的中线 OE 上，且 O 为 OE 的中点；依次分析AOC 的面积与ADC 的面积之比以及ADC 的面积与ABC 的面积之比，即可得答案【解答】解：根据题意，以 OA、OB 为一组邻边作OADB，连接 OD 与 AB 交于点 E，由平行四边形的性质易得 AB 的中点为 E，由平行四边形法则易得 + =2又由 ，可得 ，则 = ，则 O 的 AB 边的中线 OE 上，且 O 为 OE 的中点，O 为 OE 的中点，AOC 的面积与AEC 的面积之比为 1：2，E 为 AB 的中点，AEC 的面积与 ABC 的面积之比为 1：2，则AOC 的面积与ABC 的面积之比为 1：4，故选
12、 C第 7 页（共 25 页）【点评】本题考查向量的运算法则：关键是分析出 O 为 AE 的中点3 （2010上虞市模拟）给定向量 且满足 ，若对任意向量 满足，则 的最大值与最小值之差为（ ）A2 B1 C D【分析】令 = 可得 ，由| + |=| |=1，当 时，把 展开化简可得| |=1，故 的最大值为 1，最小值为 0【解答】解：对任意向量 满足 ， 当 = 时， =0，故 ，由向量加减法的几何意义得| + |=1由 可得， （ + ）+ =0， = （ + ） ， =| | + |=| |，| |=1，又 | |0，故 的最大值与最小值之差为 10=1，故选：B【点评】本题考查向量
13、的模的定义，向量加减法的几何意义，两个向量垂直的条件，属于基础题4 （2010东城区模拟）在 ABC 所在平面上有一点 P，满足 ，则 PBC 与ABC 面积之比是（ ）A B C D【分析】根据点所满足的条件知，P 是三角形的重心，根据重心的特点，得到两个三角形的高之比，而两个三角形底边相同，所以得到结果【解答】解： ，P 是三角形的重心，P 到顶点的距离是到对边距离的 2 倍，PBC 与ABC 底边相同，PBC 与ABC 面积之比是第 8 页（共 25 页）故选 A【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立
14、体几何问题，三角函数问题，本题把条件等式中的一个向量移项以后，就是用一组基底来表示向量5 （2010海淀区校级模拟）非零向量 若点 B 关于 所在直线的对称点为B1，则向量 + 为（ ）A B C D【分析】容易知道，由平行四边形法则向量 + 的方向与向量 的方向相同，因此只需要求得与向量 方向相同的单位向量 以及向量 在向量 方向上的投影 ，即可得到向量 + 【解答】解：如图由题意点 B 关于 所在直线的对称点为 B1，所以BOA=B 1OA，所以又由平行四边形法则知： + = ，且向量 的方向与向量 的方向相同，由数量积的概念，向量 在向量 方向上的投影是 OM= ，又设与向量 方向相同的
15、单位向量为： ，所以向量 =2 =2 =故应选：A【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的概念，向量的模的概念第 9 页（共 25 页）6若函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B 、C，使 ，则称此函数有“中位点”，下列函数y=cosx，y=|x1| ， y=x3+sinx2，y=cosx+x 2 中，没有“中位点” 的函数个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B 、C，使 ，则称此函数有“中位点”，我们可以根据“中位点” 的定义，对题目中的四个函数逐一进行判断即可得到答案【解答】解：若函数 y=f（x）图象上存在三点 A、B 、C，
16、使 ，则称此函数有“中位点”，此时函数图象上必然有三点共线，函数 y=cosx 的图象上（0，1） ， （ ，0） ， （，1）三点显然共线，函数 y=|x1|的图象上（1，0） ， （2，1） ， （3，2）三点显然共线，函数 y=x3+sinx2 的图象上（1，sin1 1） ， （0，2） ， （ 1，sin13）三点也共线，但函数 y=cosx+x2 的图象上任意三点都不共线，故函数 y=cosx+x2 没有中位点，故选 A【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难” ，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果7 （2012临海市校级
17、模拟）称 为两个向量 、 间的“ 距离”若向量 、 满足： ； ； 对任意的 tR，恒有则（ ）A B C D【分析】由题意知 的终点在单位圆上，由 d（ ，t ）d（ ， ）恒成立得| | |恒成立，从而 即（ ） 【解答】解：如图：| |=1， 的终点在单位圆上，用 表示 ，用 表示 ，用 表示 ，设 =t ，d（ ， t ）=| |，d（ ， ）=| |，由 d（ ，t ） d（ ， ）恒成立得，第 10 页（共 25 页）| | |恒成立， ， （ ） ，故选 C【点评】本题考查向量的模的意义及求法，两个向量垂直的条件8 （2011上海）设 A1，A 2， A3，A 4，A 5 是平面
18、上给定的 5 个不同点，则使= 成立的点 M 的个数为（ ）A0 B1 C5 D10【分析】根据题意，设出 M 与 A1，A 2，A 3，A 4，A 5 的坐标，结合题意，把 M 的坐标用其他 5 个点的坐标表示出来，进而判断 M 的坐标 x、y 的解的组数，进而转化可得答案【解答】解：根据题意，设 M 的坐标为（x，y） ，x，y 解得组数即符合条件的点 M 的个数，再设 A1，A 2，A 3，A 4，A 5 的坐标依次为（ x1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x 3，y 3） ， （x 4，y 4） ，（x 5，y 5） ；若 = 成立，得（x 1x，y 1y）+（x 2x，y 2y）+（x 3x，y 3y）+ （x 4x， y4y）+（x 5x，y 5y）= ，则有 x= ，y= ；只有一组解，即符合条件的点 M 有且只有一个；故选 B【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点 M 的个数转化为求其坐标即关于 x、y 的方程组的解的组数，易得答案9 （2011上海）设 A1，A 2， A3，A 4 是平面上给定的 4 个不同点，则使成立的点 M 的个数为（ ）
