数学分析9.6可积性理论补叙(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第九章 定积分6 可积性理论补叙一、上和与下和的性质性质1：对同一分割T，相对于任何点集i而言，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界.即S(T)=xi, s(T)=xi.证：由s(T)xiS(T)，可知相对于任何点集i，上和与下和分别是全体积分和的上界与下界.任给0，在各个i上有上确界Mi，可选取点ii，使f(i)Mi-.xixi=xi-=S(T)-.S(T)=xi. 同理可证：s(T)=xi.性质2：设T为分割T添加p个新分点后所得到的分割，则有S(T)S(T)S(T)-(M-m)p ；s(T)s(T)s(T)+(M-m)p.即增加分点后，上和不增，下和不减.证：将p个新分点同时添加到T，与逐个添加到T，得到同样的T.可先取p=1，则新分点将某小区间k分成两个小区间k与k”.S(T)-S(T1)=Mkx k-(Mkxk+M”kx”k)=Mk(xk+x”k)-(Mk