1、1等腰三角形三线合一 专题训练姓名 例 1：如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE 、CE 分别平分 ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。求证：BC=AB+DC。变 1：如图，ABCD，A90 ，AB 2，BC 3，CD 1，E 是 AD 边中点。求证：CEBE。变 2：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分BAD、ABC.（1）求证：AEBE ； （2）求证：E 是 CD 的中点； （3）求证：AD+BC=AB.B CEA D2变 3：ABC 是等腰直角三角形 ，BAC=90 ,AB=AC. 若 D 为 BC 的中点，过 D 作 DMDN
2、 分别交AB、AC 于 M、N，求证：（1）DM DN。若 DMDN 分别和 BA、 AC 延长线交于 M、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。(1) 已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于点 D求证：DE=DFDB CFAEMND CBAMNDCBA3(2)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且，EF 交 BC 于点 D，且 D 为EF 的中点 求证：BE=CF DB CFAE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上的一点，PDAB 于
3、 D，PEAC 于E，CFAB 于 F，那么 PD+PE 与 CF 相等吗？4变 1：若 P 点在直线 BC 上运动，其他条件不变，则 PD 、PE 与 CF 的关系又怎样，请你作图，证明。 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例 1在ABC 中，AB=AC，1= ABC，2= ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大122小与A 的大小有什么关系？若1= ABC，2= ACB，则BOC 与A 大小关系如何？33若1= ABC，2= ACB，则BOC 与A 大小关系如何？1n1n会
4、用等腰三角形的判定和性质计算与证明例 2如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD将这个等 腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个 三角形的 腰长及5底边长利用等腰三角形的性质证线段相等例 3如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP，连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由例 1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm 的两部分，则腰长为（ ）A、2cm
5、B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定例 2、已知 AD 为ABC 的高，AB=AC，ABC 周长为 20cm，ADC 的周长为 14cm，求 AD 的长。例 3、如图，已知 BC=3，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，OEAB，OFAC，求OEF 的周长。例 4、如图，已知等边ABC 中，D 为 AC 上中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD，连接 DE，试说明 DB=DE。AB CAB CDEAB F COE6例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 450，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形例 6、 （1）等腰三角形
6、的腰长为 10，底边上的高为 6，则底边的长为 。（2）直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为 ；（3）若直角三角形三边为 1，2，c，则 c= 。例 7、下列说法：若在ABC 中 a2+b2c 2，则ABC 不是直角三角形；若ABC 是直角三角形，C=90 0，则 a2+b2=c2；若在ABC 中，a 2+b2=c2，则C=90 0；若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上） 。例 8、正三角形 ABC 所在平面内有一点 P，使得PAB、PBC、PCA 都是等腰三角形，则这样的 P 点有（ ）（A）1 个
7、（B）4 个（C）7 个（D）10 个例 9. 四边形 ABCD 中， AB=BC， ABC= CDA=90， BE AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则BE=（ ）A2 B3 C D23例 10. 已知ABC 为正三角形，P 为其内一点，且 AP=4，BP= ，CP=2，则ABC 的边长为 （ ）32（A） （B） （C）4 （D）52724三巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 9，求它的周长。2、在ABC 中，AB=AC，B=40 0，则A= 。3、等腰三角形的一个内角是 700，则它的顶角为 。4、有一个内角为 40的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .
8、140呢 5、如图，在 Rt ABC 中， C105 o，直线 BD 交 AC 于 D，DCB A7PCBA把直角三角形沿着直线 BD 翻折，点 C 恰好落在斜边 AB 上，如果 ABD 是等腰三角形，那么A 等于 （ ）(A)40o (B) 30o (C) 25o (D )15o6、若ABC 三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC 的形状为（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 （ ） 。A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、
9、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半9、在等腰三角形 ABC 中，A 与B 度数之比为 52，则A 的度数是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75或 10010、如图，P、Q 是ABC 边 BC 上的两点，且 QCAPAQBPPQ，则BAC（ ）A、125 0 B、130 0 C、90 0 D、120 011、如图，ABC 中，ABAC，BD、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。A、4 个 B、6 个 C、3 个 D、5 个12、如图，ABAC，AEEC，ACE28 0，则B 的度数是（ ）A、60 0
10、 B、70 0 C、76 0 D、45 013、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上（端点 A、C 除外），设 甲虫 P 到另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC 的高为 h，则 d 与 h 的大小关系是（ ） 【解题方法指导】例 1. 已知，如图，ABACCD，求证：B2D A B C D ECBAE D C B A QP CBA10 题图 11 题图 12 题图8例 2. 已知，如图，ABC 是等边三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求 AD 的长。 D A B C 【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常
11、以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例 1. （2005 年 苏州）如图，等腰三角形 ABC 的顶角为 120，腰长为 10，则底边上的高 AD_。A B C D例 2. 已知，如图，ABC 中，C90，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于D，AD8，A30，求 CD 的长。 C D A B E例 3. 已知，如图，ABC 是等边三角形，E 是 AB 上一点，D 是 AC 上一点，且 AECD，又 BD与 CE 交于点 F，试求BFE 的度数。9A E D F B C 【综合测
12、试】1. 已知，如图，ABAC，ABDACD ，求证：DBDC A B C D 2. 已知，如图，D、E 是 BC 上两点，ABAC，AD AE，求证：BDCEA B D E C 3. 已知，如图，ABC 中，DE/BC，AB AC，求证：ADAE A D E B C 4. 已知，如图，ABC 中，ABAC，D 是 AB 上一点， E 是 AC 延长线上一点，DE 交 BC 于 F，又 BDCE，求证：DF EF A D B C E F 105. 已知，如图，D 是 BC 上一点，ABC、BDE 都是等边三角形，求证：ADCE A B D C E 6. 已知，如图，ABC 中，B90，AC 的
13、垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又C15，EC10，求 AB 的长。 A D B C E例 6、如图 11，在ABC 中， A90，AB AC，D 为 BC 边中点，E、F 分别在 AB、AC 上，且 DEDF，求证：AEAF 是一个定值.证明：连接 AD， ABAC ，D 为 BC 中点，AD BC，BAC90，AB AC， B C45 ，BAD45，CAD45，ADBDCD，EDF90，EDAADF90 ，又由 ADBC 得BDE ADE 90 ，BDE ADF，在BDE 和ADF 中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，BEAF， AEAFAEBEAB（定值）.思考：四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？例 4、如图 9，已知 AD 为 ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BFAC ，FD CD，你认为 BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段 BEAC，理由如下：ADBC ，ADB ADC90，FBDBFD90，图11FADB CE图 5DB CAO
