1、1乐学教育函数与导数综合题题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开） ，极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；0)(xf不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元） ；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例 5） ；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值- 题型特征 恒成立)(gf恒成立；参考例 4；0)(xxh例 1.已知函数 ， 是 的一个极值点321fba
2、2x)(f（）求 的单调递增区间；（）若当 时， 恒成立，求 的取值范() 1, 323xaa围例 2.已知函数 baxxf23)(的图象过点 )2,0(P.（1） 若函数 在 1处的切线斜率为 6，求函数 xfy的解析式；（2）若 3a，求函数 y的单调区间。例 3.设 。2(),1xf()52(0)gax（1）求 在 上的值域；0（2）若对于任意 ，总存在 ,使得 成立,求 的取值范围。,0101()gxfa2例 4.已知函数 图象上一点 的切线斜率为 ，32()fxa(1,)Pb3326()1)0tgtxt（）求 的值； （）当 时，求 的值域；,ab,4()fx（）当 时，不等式 恒成
3、立，求实数 t 的取值范围。4x()fg例 5.已知定义在 上的函数 在区间 上的最大值是 5，最小值R32()fxaxb）（ 0a2,1是11.（）求函数 的解析式；（）若 时， 恒成立，求实数 的取值f 1,t(txf） x范围.例 6.已知函数 ，在 时有极值 0，则 223)(mnxxf 1nm例 7.已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数a52)(2bxfg（1） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；1)(xg若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数)(, )(42xmb1,的取值范围m3题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x
4、轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问0)()( xff或题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在 0 的同侧） ，如果是同侧则不必分类讨论；若在0 的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考 08 年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间
5、的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料高考教练83 页第 3 题和清明节假期作业上的第 20 题（金考卷第 5 套） ；（2）函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 8已知函数 ， ，且 在区间 上为增函23)1()(xkxfkxg
6、31)()(f),2(数（1） 求实数 的取值范围；（2）若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值kf k范围例 9.已知函数 .31)(23axaxf（I）讨论函数 的单调性。（II）若函数 在 A、B 两点处取得极值，且线段 AB 与 x 轴有公共点，求实数 a 的取值范围。fy例 10已知函数 f(x)x 3ax 24x4a，其中 a 为实数()求导数 (x)；()若 f(1)0，求 f(x)在2，2 上的最大值和最小值；()若 f(x)在(，2和2， )上都是递增的，求 a 的取值范围4例 11.已知：函数 cbxaxf23)(（I）若函数 的图像上存在点 ，使点 处的切线与
7、 轴平行，求实数 的关系式；Pxba,（II）若函数 在 和 时取得极值且图像与 轴有且只有 3 个交点，求实数 的取值范1 c围.例 12设 ()yfx为三次函数，且图像关于原点对称，当 12x时， ()fx 的极小值为 1（）求 的解析式；（）证明：当 ),1(x时，函数 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 0例 13在函数 图像在点（1，f（1） ）处的切线与直线 平行，)0()(3abxxf .076yx导函数 的最小值为12。 （1）求 a、b 的值；（2）讨论方程 解的情况（相同根算 mf)(一根） 。例 14已知定义在 R 上的函数 ，当 时， 取得极大值),()(3Rcbaxf
8、1x)(xf3， .1)0(f（）求 的解析式；（）已知实数 能使函数 上既能取到极大值，又能xtf(t,3)在 区 间取到极小值，记所有的实数 组成的集合为 M.请判断函数 的零点个数.t )fgMx5例 15.已知函数 的单调减区间为（0，4）)(,2)1(3)( xfkxkxf 若（I）求 的值；（II）若对任意的 总有实数解，求实数 的取值5, tat 的 方 程关 于 a范围。例 16.已知函数 是常数 ，且当 和 时，函数 取baRxbaxf ,()(23)1x2)(xf得极值.（）求函数 的解析式；（）若曲线 与 有两个不同(fy0(3mg的交点，求实数 的取值范围.m例 17.
9、已知函数正项数列满足： ， ，点 在圆 上，0a1),(1nnaP252yxks5u)(Nn)（）求证： ； （）若 ，求证： 是等比数nna251 nnb21)(Nnb列；（）求和： b31例 18.函数 （ 、 为常数）是奇函数。ks5umxtxf23)( ,0tRt（）求实数 的值和函数 的图像与 轴交点坐标；（）设 ， ，求)(fx|)(|xfg1,0的最大值 .gF6例19.已知 f (x)x 3bx 2cx2若 f(x)在 x1时有极值1，求 b、c 的值；若函数 yx 2x5的图象与函数 y 的图象恰有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围xk2例 20. 设函数 axxf231
10、)(， bxg2)(，当 21时， )(xf取得极值.（1）求 a的值，并判断 (f是函数 f的极大值还是极小值；（2）当 4,时，函数 与 的图象有两个公共点，求 b的取值范围.例 21.已知 在 R 上单调递增，记 的三内角 A、B 、C 的对应边分别为5)(23xkxf a、b 、c ，若 时，不等式 恒成立acb2 )432()cos(in2mfmf（）求实数 的取值范围；（）求角 的取值范围；（）求实数 的取值范围。Bos7题型三：函数的切线问题；问题 1：在点处的切线，易求；问题 2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式） ；第三步：根据
11、切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例 22.已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范32()fxabcx0 ()0fx围为 ，求：(1,3（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围(1,)Pm()yfm例 23. 已知 （ 为常数）在 时取得一个极值，32()4fxax2x（1）确定实数 的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数；t()f,t（2）若经过点 A（2，c） （ ）可作曲线 的三条切线，求 的取值范围8()yfc题型四：函数导数不等式线性规划精彩交汇；例 24.设函数 ，在其图象上一点 处的切线的斜率
12、记为321()(,)gxaxbR(,)Fxy()f(1)若方程 有两个实根分别为-2 和 4，求 的表达式；f (fx(2)若 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。x1, 2ab8例 25.已知函数 ),(31)(2Rbaxxf （1）若 图象上的是 处的切线的斜率为 的极大值。y),( )(,4xfy求（2） 在区间 上是单调递减函数，求 的最小值。)(f 例 26. 已知函数 （ ， ， 且 ）的图象在 处的切23)(nxmxfRnm0)2(,f线与 轴平行.x(I) 试确定 、 的符号；(II) 若函数 在区间 上有最大值为 ，试求 的值.fy,2题型五：函数导数不等式数列的精彩交汇
13、例 2 7.已知函数 )0,()( abaxf为 常 数 且 满足 1)2(f且 xf)(有唯一解。（1） 求 的表达式；（2）记 )11nNfxn且 ，且 x f， 求数列 n的通项公式。（）记 y，数列 y的前项和为 nS，求证 349例 28.已知函数 ，其中 .0xbaxf Rba,（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；y2,fP13xyxf（）讨论函数 的单调性；f（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.,1a10xf,4b例 29.在数列 na中， 12,8a，且已知函 3211()(4)3nnfxaxax（*N）在 x时取得极值. 学科网（）求数
14、列 n的通项 n； 学科网（）设 ab)1(3，且 121 )3(nnmbb对于 *N恒成立，求实数 m的取值范围 学例 30.已知函数 321()1(,Rfxaxba， b为实数）有极值，且在 1x处的切线与直线 0yx平行.（1）求实数 a 的取值范围；（2）是否存在实数 a，使得函数 )(f的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；10例 31.已知函数 dcxaxf 2341)(（a、c、dR）满足 0)1(,)0(ff且0xf在 R 上恒成立。（1）求 a、c、d 的值；（2）若 412)(2bh，解不等式 )(xhf；（3）是否存在实数 m，使函数 mxfx
15、g在区间m，m+2上有最小值5？若存在，请求出实数 m 的值，若不存在，请说明理由。例 32.设函数 （ ） ，其中2()fxaxRa（1）当 时，求曲线 在点（2， ）处的切线方程；a(yf()f（2）当 时，求函数 的极大值和极小值；0（3）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任意的1,0k 2cos)(cos)kxfkx恒成立。xR例 33. 已知函数 为常数）qpxpxf ,()1(23)(2（）若 上 单 调 递 增 ， 且和上 单 调 递 减 ， 在在 ),(), 211 ;:2x求 证（）若 在 和 处取得极值，且在 时，函数)(f 6,)(xfy的图象在直线 的下方，求 的取值范围？05:cyl c
