1、基本初等函数一、一次函数一次函数 0kxb0k 0k，kb符号 0bb0b图象OxyyxOOxyyxOOxyyxO性质 随 的增大而增大y 随 的增大而减小y二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 2()(0)fxabc顶点式： )fhka两根式： 12()(0)fxax（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最值有关时，用顶点式若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 x ()fx（3）二次函数图象的性质 20fxabc0a0a图像 2bxa2bxa定义域 ,对称轴 2bxa顶点坐标 4,c值域24,acb
2、2,4acb单调区间递减,2a递增,b递增,2a递减,b.二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为2()(0)fxac顶点坐标是,2bxa24,b当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，0(,2ba,)2ba当 时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在2bxa2min4()acbfx0上递增，在 上递减，当 时， (,2ba,)2ba2bxa2max4()cbf一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是,1nxRxnNxnn奇数时， 的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方anaa根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0
3、 的 次方根是 0；负数n n没有 次方根2、式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为n任意实数；当 为偶数时， 0a3、根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nna | na（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是： 且 0 的正分数指(0,mnaN1)n数幂等于 02、正数的负分数指数幂的意义是： 且 1)(,mnna 0 的负分数指数幂没有意义 1)n注意口诀：底数取倒数，指数取相反数3、a 0=1 (a 0) ap 1/ap (a0；pN)4、指数幂的运算性质,rsrsR ()(0,)rsrasR()()bbr5、0 的正分数指数幂
4、等于 0,0 的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数 叫做指数函数，其 x 是自变量，函数的定义域为)1a,0(ayx且R注意： 指数函数的定义是一个形式定义； 1注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和 1 2三、指数函数的图象和性质函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 （0,+）过定点 图象过定点（0,1） ，即当 x=0 时，y=1奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数函数值的变化情况y1(x0),y=1(x=0), 0y1(x0)y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)变化对a图象影响在第一象限内
5、， 越大图象越高，越靠a近 y 轴；在第二象限内， 越大图象越低，越靠近 x 轴在第一象限内， 越小图象越高，越靠a近 y 轴；在第二象限内， 越小图象越低，越靠近 x 轴注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上， 值域是 或)1a0()fx且 )b(f,a)a(f,（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当01()f R（3）对于指数函数 ，总有且 （4）当 时，若 ，则a21)x(f21四、底 数 的 平 移对 于 任 何 一 个 有 意 义 的 指 数 函 数 ：在 指 数 上 加 上 一 个 数 ， 图 像 会 向 左 平 移 ； 减 去 一 个 数 ， 图 像 会
6、向 右 平 移 。在 f(X)后 加 上 一 个 数 ， 图 像 会 向 上 平 移 ； 减 去 一 个 数 ， 图 像 会 向 下 平 移 。即 “上 加 下 减 ， 左 加 右 减 ”五 、 幂 的 大 小 比 较常 用 方 法 （ 1） 比 差 （ 商 ） 法 ：（ 2） 函 数 单 调 性 法 ；（ 3） 中 间 值 法 ： 要 比 较 A 与 B 的 大 小 ， 先 找 一 个 中 间 值 C， 再 比 较 A与 C、 B 与 C 的 大 小 ， 由 不 等 式 的 传 递 性 得 到 A 与 B 之间 的 大 小 。注 意 ： （ 1） 对 于 底 数 相 同 ， 指 数 不 同
7、的 两 个 幂 的 大 小 比 较 ， 可 以 利 用 指 数 函01xy(,)O01xx(,)Oy数 的 单 调 性 来 判 断 。例 如 ： y1=34,y2=35（ 2） 对 于 底 数 不 同 ， 指 数 相 同 的 两 个 幂 的 大 小 比 较 ， 可 以 利 用 指 数 函 数 图像 的 变 化 规 律 来 判 断 。例 如 ： y1=（ 1/2） 4,y2=34,（ 3） 对 于 底 数 不 同 ， 且 指 数 也 不 同 的 幂 的 大 小 比 较 ， 则 可 以 利 用 中 间 值来 比 较 对 于 三 个 （ 或 三 个 以 上 ） 的 数 的 大 小 比 较 ， 则 应
8、 该 先 根 据 值 的 大 小 （ 特别 是 与 0、 1 的 大 小 ） 进 行 分 组 ， 再 比 较 各 组 数 的 大 小 即 可 。 在 比 较 两 个 幂 的 大 小 时 ， 如 果 能 充 分 利 用 “1”来 搭 “桥 ”（ 即 比 较它 们 与 “1”的 大 小 ） ， 就 可 以 快 速 的 得 到 答 案 。 由 指 数 函 数 的 图 像 和性 质 可 知 “同 大 异 小 ”。 即 当 底 数 a 和 1 与 指 数 x 与 0 之 间 的 不 等 号同 向 时 ， ax大 于 1， 异 向 时 ax小 于 1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算（一）对数1对数的
9、概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的Nax)1,0(axaN对数，记作： （ 底数， 真数， 对数式）xlogalog说明： 注意底数的限制 ，且 ；0 ；Naa注意对数的书写格式 al两个重要对数： 常用对数：以 10 为底的对数 ；Nlg 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 7182.eNln指数式与对数式的互化幂值 真数 N bbaloga底数指数 对数（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：0a10MN ； ；(log)alogal 2 NMalogalNalog 3 na )(Rnn1 bl balog log a1=0 log a a=1 a log a N=N
10、 log a a b=b注意：换底公式（ ，且 ； ，且 ； ） clogl010c10推论(利用换底公式) ； bmnaaloglabalog1l二、对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变0(lxya)x量，函数的定义域是（0，+） 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数xy2log5l 对数函数对底数的限制： ，且 0(a)1三、对数函数的图像和性质：函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(ayx)1a01a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， 11x0y
11、奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log(1)l0aaxlog10()laax在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高变化对a图象影响 在第一象限内， 越大，图象越靠近 x 轴在第四象限内， 越大，图象越靠近 y 轴 在第一象限内， 越小，图象越靠近 x 轴在第四象限内， 越小，图象越靠近 y 轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子()yfxAC()yfx如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一()xCA确定的值和它对应，那么式子
12、 表示 是 的函数，函数 叫做函数()yxy的反函数，记作 ，习惯上改写成 f 1f 1()f二、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()yfx1()fy将 改写成 ，并注明反函数的定义域1xf1()f01 xyO(,)log01 xyO(,)l三、反函数的性质原函数 与反函数 的图象关于直线 对称()yfx1()yfxyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域1()f若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上,Pabf,Pba1()f一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数()幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中
13、为自变量， 是常数yxx二、幂函数的图象 函 数 特 征 性 质 y=x yx2 yx3 yx12 yx1 定 义 域 R R R 0， ） | x0 值 域 R 0， ） R 0， ） | y0 x )0， 增 x( )0， 增 单 调 性 增 x( ， 0减 增 增 x( )， 0减 所 过 定 点 （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） （ 0， 0） （ 1， 1） 三、幂函数的性质1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；y幂函数是
14、奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 2、过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,)(1,)3、单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数0如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象(0,)无限接近 轴与 轴xy4、奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中 互质， 和 ） ，qp,pqZ若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，yx若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，qqp若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数p5、图象特征：幂函数 ，,(0)yx当 时，
15、若 ，其图象在直线 下方，11yx若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方x习题一、选择题1. （ ）23log9l4A B C D1122. (函数)下列函数中,在区间 上为增函数的是 （ ）0,A B C Dlnyx1yx12xy1yx3.设函数 集合 2()43,(),fg|()0,MRfg则 为 （ ）|NRNA B(0,1) C(-1,1) D1, ,14. ）下列函数中,既是偶函数,又在区间 内是增函数的为(1,2)A B C Dcos2yx2log|yx2xey3yx5.函数 的图象可能是 (0,1)a6.函数 的定义域为 （ ）21(
16、)4ln)fxxA B C D2,0,(,0),2,(1,27. (函数)下列函数为偶函数的是 （ ）A B C Dsinyx3yxxye2lnyx8.设集合 ,集合 是函数 的定义域;则 （ 21lg(1)AB）A B C D(1,),)(,9.函数 的图象可能是 (01)xyaa10.下列函数中,与函数 y= 定义域相同的函数为 （ ）31xAy= 1sinxBy= nCy=xe x D sinx二、填空题11.方程 的解是_.03241x12.设函数发 ,则 =_,()xf=(4)f-13.已知 , .若 或 ,2(3)fxm2xg,()0Rfx()g则 的取值范围是_.14.已知函数 ,若 ,则 _.()lgf 1fab2()fafb15.函数 的定义域为_.xx6o1
