1、1、在等差数列a n中,a 1=250, 公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和,(1)70n200;(2)n 能被 7 整除.2、设等差数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S120,S 130.( )求公差 d 的取值范围；()指出 S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列 是首项为 23，公差为整数的等差数列，且前 6 项为正，从第 7 项开始变为负na的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 ,求 的最大值;(3)当nS是正数时,求 n 的最大值.nS4、设数列 的前 n 项和 .已知首项 a1=3,且 + =2
2、 ,试求此数列的通项公式anS1nS1na及前 n 项和 .5、已知数列 的前 n 项和 n(n1)(n 2),试求数列 的前 n 项和.a31nSa16、已知数列 是等差数列,其中每一项及公差 d 均不为零,设n=0(i=1,2,3,)是关于 x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;212iii axa(2)设这些方程的另一个根为 ,求证 , , , ,也成等差数列.im1213mn7、如果数列 中,相邻两项 和 是二次方程 =0(n=1,2,3)的两个根,nana1 nncx2当 a1=2 时,试求 c100 的值.8、有两个无穷的等比数列 和 ,它们的公比的绝对值都小于 1,
3、它们的各项和分别是na1 和 2,并且对于一切自然数 n,都有 ,试求这两个数列的首项和公比 .19、有两个各项都是正数的数列 , .如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 , , 成等差数列, nabnab1, , 成等比数列 ,试求这两个数列的通项公式 .nb1an10、若等差数列log 2xn的第 m 项等于 n，第 n 项等于 m(其中 mn)，求数列x n的前mn 项的和。11、设a n为等差数列,b n为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出a n及b n的前 10 项的和 S10 及 T1012、已知等差数列a n的前项和为 Sn，且 S13S
4、6S 14,a2=24(1)求公差 d 的取值范围；（2）问数列 Sn是否成存在最大项，若存在求,出最大时的 n，若不存在,请说明理由13、设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项的为 6560，且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列的首项和公比14、设正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且存在正数 t，使得对所有正整数 n，t 与 an的等差中项和 t 与 Sn的等比中项相等，求证数列 为等差数列，并求 an通项公式及前 n 项n和15、已知数列 是公差不为零的等差数列，数列 是公比为 的等比数列，且nanbaq.17,5,132b求 的值；q求数列 前 项和.
5、n16、 若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值答案：1、 解： a1=250, d=2, a n=250+2(n1)=2n252同时满足 70n200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列b n.b1=a70=112, b 2=a77=98, b n=a 196=140其公差 d=98(112)=14. 由 140=112+(n1)14, 解得 n=19b n的前 19 项之和 .261489)12(9S2、解： () 依题意,有 0)(2 da，即0)13113 daS)2(61由 a3=12,得 a1=122d (3)将(
6、3)式分别代入(1),(2)式,得 ， .03724d3724d()由 d0 可知 a1a 2a 3a 12a 13.因此,若在 1n12 中存在自然数 n,使得 an0,a n+10,则 Sn 就是 S1,S2,S12 中的最大值.由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a 70.由此得 a6a 70.因为 a60, a 70,故在 S1,S2,S12 中 S6 的值最大.3、 (1)由 a6=235d0 和 a7=236d0,得公差 d=4.(2)由 a60,a 70,S 6 最大, S6=8.(3)由 a1=23,d=4,则 = n(504n), 设
7、0，得 n12.5,整数 n 的最大值为 12.n2n4、a 1=3, S 1=a1=3.在 Sn+1S n=2an+1 中,设 n=1,有 S2S 1=2a2.而 S2=a1a 2.即a1a 2a 1=2a2.a 2=6. 由 Sn+1S n=2an+1,(1) Sn+2S n+1=2an+2,(2)(2)(1),得 Sn+2S n+1=2an+2 2an+1，a n+1a n+2=2an+22a n+1即 an+2=3an+1此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an=.2,32,1时当 时当 n此数列的前 n 项和为 Sn=323 23 223 n 1=3 =
8、3n.1)(5、 = = n(n1)(n2) (n1)n(n 1)=n(n1). 当 n=1 时，na1n33a1=2,S1= 1(11)(21)=2, a 1= S1.则 n(n1) 是此数列的通项公式。na)1()312()()(43221 nn 1 .16、 (1)设公共根为 p,则 则- ,0212iii apa 0321iii ap得 dp2+2dp+d=0,d0 为公差,(p1) 2=0.p=1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为1).(2) 另一个根为 ,则 (1)= . +1= 即imi iidimid,易于证明 是以 为公差的等差数列 .daii211i27、解由根与系数
9、关系, =3n,则 ( )( )=3,即na11na2na1 =3.a 1,a3,a5和 a2,a4,a6都是公差为3 的等差数列,由2na1=2,a1+a2=3,a 2=5.则 =3k2,a 100=152, =3k5,a 101=148,c 100= k 12ka100 a101=224968、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r. 则有 .依据题设条件,有 =1, =2, 1rqa1rb, 由上面的, 可得(1 q) 2 =2(1r) .令 n=1,有(1q)121nnbraq nqnr2=2(1r),设 n=2.则有(1q) 2q2=2(1r)r, 由和,可得 q2=r,代入 得
10、(1 q) 2=2(1q 2).由于 q1,有 q= ,r = .因此可得 a=1q= ,b=2(1r)= .3934916 和 经检验,满足 的要求.14a6rbnba29、依据题设条件,有 由此可得 =11)(2nnba )(211nnnb. 0,则 2 。 是等差数列. =)(211nb11nnbnn.)又 = , =212nban)1(22)(nna)1(10、2 m+n-111、解：设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则：解得：421)(qd2,83 3)2(1,5001011 qbTaS12、解：(1)由题意： 0)(47118761433aaS )1748,3(0728d（
11、2）由（1）知，a 100,a 10+a110,a 100a 11，又公差小于零，数列 an递减，所以a n的前 10 项为正，从第 11 项起为负，加完正项达最大值。n=10 时，S n最大。13、解：设该等比数列为a n，且公比为 q若 q=1，则 Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故 q1。两式相除，得 1+qn=82，q n=81，65018221qaSnn 1aq=a1+11，数列a n为递增数列，前 n 项中最大的项为 an=a1qn-1= 548解得：a 1=2,q=314、证明：由题意： 即ntSt2nnt2当 n=1 时， tSttat 121111 ,0)(,当
12、n2 时， 0)(21nnnnnSS。)( 11 tt因为a n为正项数列，故 Sn递增， 不能对正整数 n 恒成立，0)(1tn 即数列 为等差数列。公差为tS1，2,)(ttnn tattSannn )12(,所以数列 为等差数列， an通项公式为 an=(2n-1)t 及前 n 项和 Sn=tn2。n15、3 1316、设 a、b、c 分别为 bd、b、bd，由已知 bd1、b、bd 与bd、b、bd2 都成等比数列，有=()(2 整理，得 bdb=22 bd=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3d d)9d2=(2d1)4d解之，得 d=4 或 d=0(舍) b=12
