1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则（）131xAxB，A B0B ARC D A，1x310x ， ，0BAB选 A2. 如图，正方形 内的图形来自中国古代
2、的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白CD色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A B C D148124B设正方形边长为 ，则圆半径为21则正方形的面积为 ，圆的面积为 ，图中黑色部分的概率为4222则此点取自黑色部分的概率为 248故选 B3. 设有下面四个命题（）：若复数 满足 ，则 ；1pz1Rz：若复数 满足 ，则 ；22：若复数 满足 ，则 ；31， 112z：若复数 ，则 4zzA B C D13p， 4p， 23p，24，B设 ，则 ，得到 ，所以 .故 正确；1:pzabi21abiziR0bzR1P若 ，满足 ，而 ，不满足
3、，故 不正确；22z2z2p若 ， ，则 ，满足 ，而它们实部不相等，不是共轭3:111复数，故 不正确；3实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确；4:p 44. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 的公差为（）nSna456248aS， naA1 B2 C4 D8C 451134ad682S联立求得1754ad得3 264d选 C5. 函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足fx， 1f的 的取值范围是（）121 A B C D， 1， 04， 13，D因为 为奇函数，所以 ，fx1ff于是 等价于 |121f fxf 3又 在 单调递减fx，12 故选 D3 6.
4、 展开式中 的系数为62x2xA B C D1503035C. 6662 21+xxx对 的 项系数为61265C对 的 项系数为 ，2x 46=1 的系数为2x530故选 C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，2这些梯形的面积之和为A B C D10121416B由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 246S梯 61全 梯故选 B48. 右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两3210nn个空白框中，可以分别填入A 和 B 和101n 1
5、0A2nC 和 D 和 D因为要求 大于 1000时输出，且框图中在“否”时输出“ ”中不能输入 A10排除 A、B又要求 为偶数，且 初始值为 0，nn“ ”中 依次加 2可保证其为偶故选 D9. 已知曲线 ， ，则下面结论正确的是（）1:cosCyx22:sin3yxA把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线62B把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线22CC把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移11个单位长度，得到曲线62D把 上各点的横坐标缩短到原来的
6、 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线22CD，1:cosCyx2:sin3yx首先曲线 、 统一为一三角函数名，可将 用诱导公式处理1 1:cosCyx5横坐标变换需将 变成 ，cossin22yxx12即11insinsin24 C上 yxx点 来si2sin233 yxx注意 的系数，在右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ，4x3x根据“左加右减”原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 4x3x121210. 已知 为抛物线 ： 的交点，过 作两条互相垂直 ， ，直线 与 交于 、FC2yF1l21lCA两点，直线 与 交于 ， 两点， 的最小值为（）B2
7、lDEABDEA B C D1614 0A设 倾斜角为 作 垂直准线， 垂直 轴AB1AK2Ax易知11cos2FGP（ 几 何 关 系 ）（ 抛 物 线 特 性 ）cosAFAF同理 ，11cosPB 22cosinPB又 与 垂直，即 的倾斜角为DEADE222cossin而 ，即 4yxP6 221sincosABDEP22incos424incos241in，当 取等号216sin 4即 最小值为 ，故选 A1611. 设 ， ， 为正数，且 ，则（）xyz235xyzA B C D235352yzxD取对数： .ln2l3n5xy3ly xln2l5z则，故选 D xz 32yxz1
8、2. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ，其中第一项1,2,41,2,812,48,16是 ，接下来的两项是 ， ，在接下来的三项式 ， ， ，依次类推，求满足0201 62如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为 的整数幂那么该款软件NN的激活码是（ ）A B C D43010A设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推设第 组的项数为 ，则 组的项数和为nn1n由题， ，令 且 ，即 出现在第 13 组之后10N102
9、4 *N第 组的和为nn组总共的和为21nn若要使前 项和为 2 的整数幂，则 项的和 应与 互为相反N1nN21kn数即 *2114knk， log37 295nk，则140N故选 A二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 _ab602a1b2ab23 22()cos602141 23ab14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 _xy210xy32zxy5不等式组 表示的平面区域如图所示210xyyx2x+y1=0x+2y-1=01CBA由 得 ，32zxy3z求 的最小值，即求直线 的纵截距的最大值32zyx当直线
10、 过图中点 时，纵截距最大32zyxA由 解得 点坐标为 ，此时 21xA(1,)3(1)25z15. 已知双曲线 ， （ ， ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆2:xyCab0bAb，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率MN60NC为_823如图，OAaNAMb ， ， 6032Pb2234OAPab23tan4bPa又 ， ，解得tanb234ba23b 2131e16. 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 ，O5cmABCO、 、 为元 上的点， ， ， 分别是一 ， ， 为底DEFDBC EA FB边的等腰三角形，沿虚线剪开
11、后，分别以 ， ， 为折痕折起 ，D， ，使得 ， ， 重合，得到三棱锥当 的边长变化时，所CA B F得三棱锥体积（单位： ）的最大值为_3c415由题，连接 ，交 与点 ，由题，ODBCGODBC，即 的长度与 的长度或成正比36G设 ，则 ，x23x5x三棱锥的高 210510h x921233ABCSx则510Vhx 45=3210x令 ， ，45210fxx(,)34f令 ，即 ，3x则 8ff则 3045V体积最大值为 31cm三、 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据
12、要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ABC BCabcABC23sinaA（1）求 ；sin（2）若 ， ，求 的周长6co13aABC本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1） 面积 .且 ABC2sinS1sinSbc 2si3sinabc 22由正弦定理得 ，23sinsinsiABCA由 得 .sin0A2siBC（2）由（1）得 ，sin31cos6 1cosssinCcos2ABCB又 0，10， ， 60A3sin21cos2A由余弦定理得 9ab由正弦定理得 ，sinBsinac
13、C2i8sibcCA由得 3，即 周长为 aAB 318. （12 分）如图，在四棱锥 中， 中，且 PDC 90BAPCD（1）证明：平面 平面 ；PABD（2）若 ， ，求二面角 的余弦值C90PAPBC（1）证明： ，又 ， AB又 ， 、 平面PDPPD 平面 ，又 平面AB平面 平面（2）取 中点 ， 中点 ，连接 ，OBCEOE四边形 为平行四边形AD E由（1）知， 平面BPA 平面 ，又 、 平面OODPA ，P又 ， AD 、 、 两两垂直E以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz设 ， 、 、 、 ，2P02， ， 20B， ， 2P， ， 20C， ， 、 、D， ， P， ， B， ，设 为平面 的法向量nxyz,C由 ，得0PBC20xyz
