1、二轮 函数与方程思想【知识要点】1.应用函数与方程思想解决数列,不等式,圆锥曲线等方面的问题.2.应用函数与方程思想解决有关的实际问题.【典型例题精析】例 1.已知集合 , .如02|),(2ymxyxA 20,1|),(xyxB且果 ,求实数 的取值范围.B解：由 ,得 )20(12xyx 01)(x , 方程在区间 上至少有一个实根.A,由 ,得 .4)(2m13m或当 时,由 及 知,方程只有负根,不符合要求.30)(21x02x当 时,由 及 知,方程只有正根,且必有一根在区间1内,从而方程至少有一个实根在区间 内.0( ,综上所述, 的取值范围是 .m,(例 2.设等差数列 的前 项
2、的和为 ,已知 , .nanS123a0,13S(1)求公差 的取值范围；d(2)指出 中哪一个值最大,并说明理由.1221,.S【分析】第(1)问利用公式 与 建立不等式,容易求解 d 的范围；na第(2)问利用 是 的二次函数,将 中哪一个值最大,变成求二次函数中 为何值时 取nn nnS最大值的函数最值问题.解：(1)由 ,得到 ,1213dada21所以 ,046)(621 S,578783 解得: .4d(2) dndnnaS )1(2)1()(21,24545d因为 ,故 最小时, 最大.由0d)(nS374得 6 ,故正整数 时 最小,5.6)24(16162)5(1d所以 最大
3、.6S【点评】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题.也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快.由次可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性.例 3.设 ,如果当 时 有意义,求实数 的取值范围.3421)(axfx1,()(xfa【分析】当 时, 有意义的函数问题,转化为(342)(axfx在 上恒成立的不等式问题.0421ax1,解:由题设可知,不等式 在 上恒成立,042ax1(即： 在 上恒成立.)(2x
4、,(设 , 则 , 又设 ,其对称轴为 ,t12t ttg2) 21t 在 上无实根, 即 ,得 .0)(2ax10)(1ag43所以 的取值范围是 .43【点评】对于不等式恒成立问题,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想.一般地,我们在解题中要抓住二次函数及其图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化.例 4.求过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线方程.)1,0(Pxy2解：当直线斜率不存在时,直线方程为 ,直线与抛物线相切,符合条件.0当直线斜率存在时,设直线方程为 ,1k由方程组
5、 消去 得 xyk21y)(2xx直线与抛物线只有一个公共点,方程只有一个实根.若 ,则方程为 , 解得 , ,0k012x21xy此时直线方程为 ,直线与抛物线只有一个公共点 ,符合条件.y )(若 ,由直线与抛物线只有一个公共点,得 ,k 0412k ,所求直线方程为 .2112xy综上所述,所求直线方程为 或 或 .02xy例 5. 如图, 是圆 的直径, PA垂直于圆 O所在平面, 是圆周上任一点,设ABOC , ,求异面直线 和 的距离.CrB【分析】 异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值.解
6、：在 上任取一点 ,作 于 D, 于 ,PMDMHA设 ,则 平面 , .xHC 22sin)(rDi4)1(sinr2222 sin1sini x即当 时, 取最小值 为两异面直线的距离.2si1rMD2ri 【点评】 本题巧在将立体几何中“ 异面直线的距离”变成“ 求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”.一般地,对于求最大值、最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答.比如再现性题组第 8 题就是典型的例子.例 6.设计一幅宣传画,要求画面积为 ,画面的宽与高的比为
7、,画面的上,下各2480cm)1(留 空白,左,右各留 空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用纸张面积最小？cm8c5解:设画面的高为 ,则画面的宽为 ,所用纸张的面积为 ,xcx2ycm由题设,得 ,160481048)25480)(2( xy,761605x当且仅当 ,即 时取等号,此时 .)(cm)(5cmx当画面高为 ,宽为 时,所用纸张面积最小.cm85PMA H BD C【当堂反馈】1.已知函数 有反函数,则方程 )(xfy)()为 常 数axf（B）A.有且仅有一个实根 B.至多有一个实根C.至少有一个实根 D.没有实根2.方程 至少有一个负根的充要条件是 012xa（C
8、）A. B. C. D.0a1a10a或3.对于满足 的一切实数,不等式 恒成立,则 的取值范 （B）.4p 342pxxA. B.),()(),(C. D.314.已知 是方程 的根, 是方程 的根,那么 所在的区间为 42x4log2x（C）A. B. C. D.)1,0()3,1()5,3( ),5(5.设 ,若 对应于 的曲线段位于 轴的上方,则lg22axf xf10xx满足 a（D）A. B.1 2aC. D.02a 100a或6.若直线 与曲线 有两个不同的交点,则实数 的取值范围是 kxy12yk（C）A. B. 2 2kC. D. 1k 或7.已知 ,且满足 ,则 的值为 （
9、C）Rba156403192323 ba和 aA. B. C. D.0558.如果函数 对于任意实数 ,都有 ,那么 (A)cbxf2)( t )()(tftfA. B.41f 421C. D.)1(4)2(ff )1(2)4(ff9.已知函数 ,当 时,函数 的最小值是_.),2xaxf 1axf 2710.若正数 满足 ,则 的取值范围是_.ba,3b),911.设函数 ,给出下列命题： 时, 只一个实根；cxxf|)( 0cb(xf时, 是奇函数； 的图象关于点 对称；方程 至多有 20c)(fy),(0)个实根.上述命题中的所有正确命题的序号是_.12.将长度为 1 的铁丝分成两段,分
10、别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形和圆形的面积之和最小,正方形的周长应为_. 413.求函数 的值域.132xy解: 函数的定义域为 R,由 得 . 132xy 0)1()3()(2yxy ,方程有实数根,因此,Rx（1）当 时,方程有实数根 ；y0（2）当 时,方程有实数根等价与其判别式 ,即 , 00)1(4)3(22y解得 .135y且综合（1）,（2）得原函数的值域是 .35,1点评：将函数值域问题转化为二次方程有解问题,最终转化为解的判别式问题,这是典型的用方程知识寻求函数结论的解题方法.14.设 ,试求方程 有实数解的 的范围.10a )(log)(log22axakxk解：将
11、原方程化为： , a等价于 , .)1,0(2xk )1|()2axaxk设 , ,则 .cosax),|cot|s(f当 时, ,故 ；)02(12cotcs( f k当 时, ,故 .)20()10(2tancos( f k综上所述, 的取值范围是： 或 .k1kk【点评】 求参数的范围,分离参数后变成函数值域的问题,观察所求函数式,引入新的变量,转化为三角函数的值域问题,在进行三角换元时,要注意新的变量的范围.一般地,此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题.本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法.15. 已知 三内角 、 、 的大小成
12、等ABCC差数列,且 ,又知顶点 的32tan对边 上的高等于 ,求 的三边 、 、 及三内角.c4abc解: 由 、 、 成等差数列 ,可得 ；ABC60B由 中 ,得CAtnttnatn.)31()(ta 设 是方程 的两根,解得 , t, 0232xx 32,1x设 ,则 , ,CAtan,1C254A由此容易得到 . 4,6,8cb16.已知 是中心在原点,长轴在 轴上的椭圆的一个顶点,离心率为 .)50(x23(1)求椭圆的方程；（2）直线 与椭圆交于 两点,椭圆的左,右焦点分别为 ,求以 和mxy21BA21F和 21为对角线的四边形 面积的最大值.ABF21解:（1）设椭圆方程为
13、 ,由已知 ,2byax23,5aceb, , 解得 ,2221ace432a0故所求椭圆方程为 .50yxy C 1C 2-ak-a a (2)由方程组 消去 ,得 ,mxy21502y0122mx,解得 ,04)(422 令 ,),21yxBA 22121212 105|5|5|21 mxxFSF 四 边 形当 时, 的最大值为 .0mBA21四 边 形 6【课外练习】1.若定义在区间 内的函数 满足 ,则 的取值范围是),()1(log)(2xfa0)(xfa（A）A. B. C. D. )21,0(21,0(),(),(2.设 ,如果 恒成立,那么 （D）Rx|)7|3|lgxaA.
14、B. C. D. 10a10a3.若关于 的方程 有实数解,则 的取值范围是 221ax（B）A. B. C. D. ),(),(),2(),1(4.已知函数 是偶函数,则函数 的对称轴一定是 )12xfy xfy（C）A. B. C. D.0x121x5.已知 ,则 的值是 (A)2(51cosintanA. B. C. D.344334346.方程 的解所在的区间为 (C)lgxA. B. C. D.)1,0()2,1(),2( ),3(7.已知函数 , ,且 ,则 (A)|xfcba(cfbafA. B. 0,cba 0C. D.ca2 2ca8.方程 在区间 内解的个数是 (C)xsi
15、ni)2,0(A. B. C. D. 1349.曲线 上的点到直线 的距离的最小值为 42y1xy（D）A. B. C. D.232162510.（2004 年江苏卷 12）设函数 ,区间 ,集合)(|1)(Rxxf)(,baM,则使 成立的实数对 有 ),(|MxfyNN,ba（A）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个11.若方程 的两个根都大.2）于 ,则实数 _. 0)5()2(ax2)4,5(12.若实数 ,则 的取值范围是_.y,632y4,013. 对于满足 的所有实数,使不等式 成立的 的取值范围是40p 3)(pxx_.14.已知点 在曲线 上,则点 到点 的距离的
16、最大值为_.4),(yxP2yP),0(M15.某中学的一个研究性学习小组共有 名同学,其中男生 名,现在从中选出10x93人参加一项调查活动,若至少有一名女生去参加的概率为 ,则 _.3 )(fmaxf7201916. 建造一个容积为 ,深为 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别38m2为 元和 元,则水池的最低造价为_. 176017.对于任意的 均有 ,求关于 的方程Rx)(342 Raaxx的根的范围.1|3a解: 对任意的 均成立,且 ,03242xx , 即 , 解得 .)(60152a325a原方程化为 . 令 ,)(1|ax)(fx当 时, ,125a 425)1
17、(6)3(2)(2aaf , , .459)(f 51ff 49x当 时, ,3)2()(af , .8,1(218x综上所述,原方程的根 的取值范围是 .x4918.已知函数 .f2)(1)若 在 上有解,求实数 的取值范围；ax31a（2）若 在 上恒成立,求实数 的取值范围.f)(解：（1） 在 上有解,只要 即可.xmax)(f而 在 上有最大值 , .f2)(3,1153(2) 在 上恒成立,必须 .ax min)(xfa而 在 上有最小值 , .f)(2 3a注意：第（1）,（2）小题的区别,一般地, 在闭区间上有如下结论（ 为常数）：)(xfya 有解 ； 有解 ；)(xfama
18、x)(fmin)(xf 恒成立 ； 恒成立 .in)(xf ax19. 已知函数 .8,42)( 23 agxxf(1)若对任意的 都有 ,求实数 的取值范围；,0)(f（2）若对任意的 都有 ,求实数 的取值范围.)21x21xa解：（1）令 ,4)()(3axgfF 在 上恒成立 .0)(x,)0minxF.3)2()2(3 xa当 时, , 在 上递增,axF)0 , 符合题意.04)()(minFx2a当 ,即 时,且当 时, ；02a34x0)(xF当 时, . 3x)(当 时, , .)2(minaxF27)(35a综上所述,实数 的取值范围为 .a5,20.一动直线和圆 相切,此
19、直线和 轴, 轴的交点分别为 ,且02:2yxCxyBA.),(,bOBA(1)问 之间满足什么等量关系式？a（2）求 面积的最小值.解：圆的方程为 ,圆心为 ,半径为 .1)()1(22yx)(1由题设,直线 的方程为 ,即 ,ABba0abyx直线 和圆相切, , 化简得 ,1|2 022ab即 .)(2ba(2) , , 即 ,042ab024)(2ab由此得 , , ,或 .246ab , 面积的最小值为 .231|1abOBASOB OAB2321.(2005 年全国卷 I)设 在抛物线 上, 是 的垂直平分线.)(),(1yx2xyl(1)当且仅当 取何值时,直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论.21xlF(2)当直线 的斜率为 2 时,求 在 轴上截距的取值范围.ly解:抛物线方程为 , 即 ,依题意有 , .xy21)081(),()221xBxA018)()82( 212121221 xxlF
