1、第一章 集合与函数的概念一、选择题(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分)1.已知全集 U=1,2,3,4,5,6,集合 A=2,3,5,集合 B=1,3,4,6,则集合 A(UB)=( )A.3 B.2,5 C.1,4,6 D.2,3,52.若 A=1,2,B=(x,y)|xA,yA,则集合 B 中元素的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.43.已知全集 U=R,集合 P=xN *|x0,则图中阴影部分表示的集合是( )A.1,2,3,4,5,6 B.x|x3C.4,5,6 D.x|30 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共 4
2、 小题 ,每小题 5 分,共 20 分)13.已知函数 f(x+3)的定义域为 -2,4),则函数 f(2x-3)的定义域为 . 14.若函数 f(x)= 在区间(- 2,+)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 . 15.已知函数 y=f(x)+x3 为偶函数,且 f(10)=10,若函数 g(x)=f(x)+6,则 g(-10)= . 16.函数 f(x)=x的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如,- 3.5=-4,2.1=2,已知定义在 R 上的函数 g(x)=x+2x,若A=y|y=g(x),0x 1, 则 A 中所有元素的和为 . 三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 70 分.解
3、答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知集合 A=x|-3x 6, B=x|x0,a0,且 f(x)满足 f(-x)=f(x),试比较 F(m)+F(n)的值与 0 的大小.21.(本小题满分 12 分)已知 f(x)对任意的实数 m,n 都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当 x0 时,有 f(x)1.(1)求 f(0);(2)求证:f(x) 在 R 上为增函数;(3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax-2)+f(x-x2)0 时 ,设 00, f(x1)f(x2), f(x)在(0,+)上是减函数.19.解(1)当 x 0,又 f(
4、x)为奇函数,且 a=-2, f(x)=-f(-x)=x2-2x, f(x)=(2) 当 a0 时,对称轴 x= 0, f(x)=-x2+ax 在0,+)上单调递减,由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同, f(x)在(- ,0)上单调递减,又在(-,0) 上 f(x)0,在(0, +)上 f(x)0 时,f(x) 在 上单调递增,在 上单调递减,不合题意. 函数 f(x)为单调减函数时,a 的取值范围为 a0. f(m-1)+f(m2+t)-t-m2 恒成立 , t-m2-m+1=- 恒成立, t .20 解(1) f(-1)=0, b=a+1.由 f(x)0 恒成立知,a0,且 =b2
5、-4a=(a+1)2-4a=(a-1)20, a=1.从而 f(x)=x2+2x+1.故 F(x)=(2)由(1)知,f(x) =x2+2x+1, g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1.由 g(x)在区间-2,2 上是单调函数 ,知- - 2 或- 2,得 k-2 或 k6.故 k 的取值范围为 k-2 或 k6.(3) f(-x)=f(x), f(x)为偶函数,b= 0. a0, f(x)在区间0,+)为增函数 .对于 F(x),当 x0 时,-x0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), F(-x)=-F(x),且 F(x)在区间0,+ )上为增函数.由 mn0,n-n
6、0,知 F(m)F(-n)=-F(n), F(m)+F(n)0.21.(1)解令 m=n=0,则 f(0)=2f(0)-1, f(0)=1.(2)证明任取 x1,x2R,且 x10,f(x2-x1)1. f(m+n)=f(m)+f(n)-1, f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-11+f(x1)-1=f(x1), f(x2)f(x1).故 f(x)在 R 上为增函数.(3)解 f(ax-2)+f(x-x2)0 对任意的 x 1,+)恒成立.令 g(x)=x2-(a+1)x+3,当 1,即 a1 时,由 g(1)0,得 a1,即 a1 时,由 2x+m 在区间 -1,3上恒成立, mx2-5x+4 在区间-1,3上恒成立, m(x2-5x+4)min(x-1,3).令 g(x)=x2-5x+4, g(x)=x2-5x+4 在区间-1,3上的最小值为- , m- .故实数 m 的取值范围为 m- .
