1、专项训练:错位相减法目录1.(2003 北京理 16).22.(2005 全国卷) .24.(2005 湖北卷) .25.(2006 安徽卷) .26.(2007 山东理 17).27.2007 全国 1 文 21) .28.(2007 江西文 21).29.(2007 福建文 21).210.(2007 安徽理 21).311.(2008 全国19) .312.(2008 陕西 20).313.(2009 全国卷理) .314.(2009 山东卷文) .315.(2009 江西卷文) .316.(2010 年全国宁夏卷 17).317.(2011 辽宁理 17).418.(2012 天津理)
2、 .419.2012 年江西省理 .420.2012 年江西省文 .421.2012 年浙江省文 .422.(2013 山东数学理) .423.(2014 四川) .424.(2014 江西理 17).525.(2014 安徽卷文 18).526.(2014 全国 1 文 17).527.(2014 四川文 19).528.(2015 山东理 18).529.(2015 天津理 18).530.(2015 湖北,理 18).531.(2015 山东文 19).532.(2015 天津文 18).633.(2015 浙江文 17).6专项训练 错位相减法 答案 .71.(2003 北京理 16)
3、已知数列 是等差数列且 ,na12a231a(1)求数列 的通项公式;(2)令 数列 的前 项和的公式()nnbxRnb2.(2005 全国卷) 设正项等比数列 的首项 ,前 项和为 ,且 na21nS0)12(120301 S(1)求 的通项;(2)求 的前 项和 nSnT4.(2005 湖北卷)设数列 的前 项和为 , 为等比数列,且a2nb .)(,121baba(1)求数列 和 的通项公式; nb(2)设 ,求数列 的前 n 项和ccT5.(2006 安徽卷)在等差数列 中, ,前 项和 满足条件 , na1nS24,12n(1)求数列 的通项公式;(2)记 ,求数列 的前 项和 (0
4、)nanbpnbnT6.(2007 山东理 17)设数列 满足 , .n21133na*N(1)求数列 的通项;a(2)设 ,求数列 的前 项和 .nbnbnS7.2007 全国 1 文 21)设 是等差数列, 是各项都为正数的等比数列,且 , ,nan 1ab352153(1)求 , 的通项公式;b(2)求数列 的前 项和 .nnS8.(2007 江西文 21)设 为等比数列, , .na1a23(1)求最小的自然数 ,使 ;07n(2)求和: .21232n nTa9.(2007 福建文 21)数列 na的前 项和为 nS, , *1()SN.(1)求数列 的通项 ;(2)求数列 n的前
5、项和 nT.10.(2007 安徽理 21)某国采用养老储备金制度.公民在就业的一年就交纳养老储备金,数目为 ,以后每年交1a纳的数目均比上一年增加 ,因此,历年所交纳的储务金数目 是一个公差0d2,为 的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.d这就是说,如果固定年利率为 ,那么,在 年末,一年所交纳的储备金就变为rn,二年所交纳的储备金就变为 ,以 表示到 年末所累计的储备11nar221ar nT金总额.(1)写出 与 的递推关系式;nT1(2)(2)求证: ,其中 是一个等比数列, 是一个等差数列.nABnnB11.(2008 全国19)在数列 中,
6、 , .na11a(1)设 .证明:数列 是等差数列;2nbnb(2)求数列 的前 项和 .S12.(2008 陕西 20)已知数列 的首项 , , .na1312nna1,3(1)证明:数列 是等比数列;n(2)数列 的前 项和 .anS13.(2009 全国卷理)在数列 中,n111,()2nna(1)设 ,求数列 的通项公式bb(2)求数列 的前 项和nanS14.(2009 山东卷文)等比数列 的前 n 项和为 , 已知对任意的 nN,点 ()nS,均在函数(0xybr且 1br均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2)当 时,记 ()4nNa,求数列 nb的前 项和 nT21
7、5.(2009 江西卷文)数列 na的通项 22(cosi)3n,其前 n 项和为 nS. (1) 求 S; (2) 3,4nb求数列 nb的前 n 项和 T.16.(2010 年全国宁夏卷 17)设数列 满足na21112,3na(1)求数列 的通项公式;na(2)令 ,求数列的前 项和bnnS17.(2011 辽宁理 17) 已知等差数列 满足 ,n2680,10a(1)求数列 的通项公式;a(2)求数列 的前 n 项和.1n18.(2012 天津理)已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 = , ,n nSb1a2b4+7.4=0Sb(1)求数列 与 的通项公式;nab(2)
8、记 , ,证明 .121+nTa +N0nnT+()N19.2012 年江西省理已知数列 的前 项和 (其中 ),且 的最大值为 n2nSknS8(1)确定常数 ,并求 ;k(2)求数列 的前 项和92nanT20.2012 年江西省文已知数列 的前 项和 (其中 , 为常数),且nnSkcck263=48a，(1)求 ;a(2)求数列 的前 项和 nnT21.2012 年浙江省文已知数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 ,S2nb24log3nnab(1)求 ;,nab(2)求数列 的前 项和n22.(2013 山东数学理)设等差数列 n的前 n 项和为 nS,且 42, 1na.(1)求
9、数列 a的通项公式;(2)设数列 nb前 n 项和为 nT,且 n( 为常数).令 2ncb*()N.求数列 c的前 n 项和 R.23.(2014 四川)设等差数列 a的公差为 d,点 (,)nab在函数 ()2xf的图象上( *).(1)若 12,点 87(4在函数 fx的图象上,求数列 na的前 项和 nS;(2)若 ,函数 )fx的图象在点 2()处的切线在 轴上的截距为 12l,求数列 nab的前 项和 nT.24.(2014 江西理 17)已知首项都是 1 的两个数列 ( ),满足.(1)令 ,求数列 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 n 项和13nb25.(2014 安徽卷文
10、 18) 数列 满足na11,()(1),nnaN（1） 证明:数列 是等差数列;（2） 设 ,求数列 的前 项和3nbnbnS26.(2014 全国 1 文 17)已知 是递增的等差数列, , 是方程 的根na2a42560x(1)求 的通项公式;(2)求数列 的前 项和.n27.(2014 四川文 19)设等差数列 na的公差为 d,点 (,)nab在函数 ()2xf的图象上( *nN).(1)证明:数列 是等比数列;b(2)若 1,函数 ()fx的图象在点 2(,)处的切线在 轴上的截距为 12l,求数列的前 n项和 .2nanS28.(2015 山东理 18)设数列 的前 n 项和为
11、.已知 .n23nS(1)求 的通项公式;a(2)若数列 满足 ,求 的前 n 项和 .nb3lognnabT29.(2015 天津理 18)已知数列 满足 ,且2 12()*,qqNa为 实 数 ， 且 1，成等差数列.2345,aa+(1)求 的值和 的通项公式;qn(2)设 ,求数列 的前 项和.*21log,nbNnb30.(2015 湖北,理 18)设等差数列 的公差为 d,前 项和为 ,等比数列 的公比为 .已知 , ,nanSnq1ba2, .qd10S(1)求数列 , 的通项公式;nb(2)当 时,记 ,求数列 的前 项和 . nacncnT31.(2015 山东文 19)已知
12、数列 是首项为正数的等差数列,数列 的前 项和为 .na 1na21n(1)求数列 的通项公式;(2)设 ,求数列 的前 项和 . 12nanbnbnT32.(2015 天津文 18)已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 ,a123,aba=+.5237-=(1)求 和 的通项公式;nb(2)设 ,求数列 的前 n 项和.*,cNc33.(2015 浙江文 17)已知数列 和 满足, na *112,2(N),naba.*123()nb(1)求 与 ;n(2)记数列 的前 n 项和为 ,求 .abnT专项训练 错位相减法 答案1、 (1) ,(2)当 时, ,当 时,2na1x12
13、(1)nnnxxS(1)nS2、 解:(1)若公比 ,则 ,代入条件,不成立,故q300101,aSa,根据等比数列求和公式,易得 , 解q132010()()()qq得 ,因而 12na(2)由(1)得 .2,1)(2nnnn SS则数列 的前 项和 n ),21()1(2nnT .22()2( 13 nnT前两式相减,得 12)()1nn 4.解:(1):当 ;,1Sa时 ,4)1(22 nnn时当故 an的通项公式为 的等差数列.,4da公 差是即设 bn的通项公式为 .,1qdbq则故 4242111 nnn bq的 通 项 公 式 为即(2) ,)(11nnbac4)12(4)32(
14、4534 ,513211 nnnTc 两式相减得 .54)6(91 56)312nn nnn5.解:(1)设等差数列 的公差为 ,由 得: ,所以 ,即nad241nS213a2a,又 = ,所21da211()4n nndaSa (1)n以 n(2)由 ,得 所以 ,nanbpnb231()nnTpp当 时, ;12T当 时,2341()nnppp21 1()(1) npP 即 1,(),1nnTpp即 12)(4)(n .212)(nnT6.(1) 213.,3naa213(2)n1().n().3na验证 时也满足上式,1*1().3naN(2) , nb 1324nS7.解:(1)设
15、的公差为 , 的公比为 ,则依意有 且nadnbq042113dq，解得 , .所以 ,2dq1()21.1nb(2) .136nS8.解:(1)由已知条件得 ,123nnaA因为 ,所以,使 成立的最小自然数 .6732007 8n(2)因为 ,232114n nT,22343得: 223214133n nT,所以 .2218nnA29416nTA9.解:(1) 1naS, 1nnS,13nS.又 ,数列 是首项为 ,公比为 3的等比数列, 1*3()nN.当 2 时, 21()nnaSA ,3nA， ， (2) 123nTa ,当 时, ;当 时, 012463nn A ,123nn A,
16、 得: 1221()nnnT A2()23n11nA. ()2nT.又 1a也满足上式, 1*13()2nnTN.10.解:(1)我们有 1()()nra .(2) 1T,对 2 反复使用上述关系式,得 21()nnnnrar 112()()ra , 在式两端同乘 ,得 121() ()nnn nnrTrr ,得 1()()()1nardra1nna.即 122()nrdTr.如果记 naA, 1rdB,则 nn.其中 nA是以 12()ard为首项,以 1(0)r为公比的等比数列; nB是以12r为首项, 为公差的等差数列.11.解:(1) , ,1nna12na,则 为等差数列, , , .1nbbb12n(2) 0 212()nnSA A1n 12.(1) , ,1nna1nnaa,又 , ,1()2nn2312数列 是以为 首项, 为公比的等比数列.a(2)由(1)知 ,即 , .112nn2na2na设 , 23nT则 ,12n由 得 ,21nT111()22nn n.又 .1nn3()数列 的前 项和 .na2214nn nnS13.(1)由已知有 11b利用累差迭加即可求出数列 n的通项公式: 12nnb( *N)(2)由(1)知 12na,nS= 1()kk11()2nnk而 2)k,又 k是一个典型的错位相减法模型,易得 1124nnknS= ()142n
