1、平面向量板块测试第卷 (选择题 共 60 分)一、选择题(12 560)1.下列五个命题：|a = ; ; ; ;2|aab222)(ba 22)(ba若 ab=0,则 a=0 或 b=0.其中正确命题的序号是 ( )A. B. C. D.2.若 =3e, =-5e 且| |=| ，则四边形 ABCD 是 ( )ABCDABCA.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形3.将函数 y=sinx 按向量 a(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( )A.y=sin(x-1)-1 B.y=sin(x+1)-1C.y=sin(x+1)+1 D.y=sin(x-1)+14.若有点 (4，3
2、)和 (2， -1)，点 M 分有向线段 的比 -2，则点 M 的坐标1M2 21为 ( )A.(0，- ) B.(6，7) C.(-2，- ) D.(0，-5)35 375.若|a +b|=|a-b|，则向量 a 与 b 的关系是 ( )A.a=0 或 b=0 B.|a|=|b| C.ab=0 D.以上都不对6.若|a |=1，|b|=2，|a+ b|= ，则 a 与 b 的夹角 的余弦值为 ( )7A.- B. C. D.以上都不对2121317.已知 a=3 -4 ,b=(1-n) +3n ,若 ab 则 n 的值为 ( )1e1e2A.- B. C.4 D.254548.平面上三个非零
3、向量 a、b、c 两两夹角相等，| a|=1，|b|=3,|c|=7,则|a+b+c| 等于 ( )A.11 B.2 C.4 D.11 或 27 79.等边ABC 中 ,边长为 2,则 的值为 ( )ABCA.4 B.-4 C.2 D.-210.已知ABC 中， ，则C 等于 ( )(2244bacbaA.30 B.60 C.45或 135 D.12011.将函数 y=f (x)cosx 的图象按向量 a=( ,1)平移，得到函数 的图象，那么4xy2sin函数 f (x)可以是 （ ）A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx12.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点
4、A(3,1),B(-1,3)，若点 C 满足 =O+ ，其中 、R ，且 +=1,则点 C 的轨迹方程为 ( )ABA.3x+2y-11=0 B. C.2x-y=0 D.x+2y-5=05)2()1(yx第卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(44 16)13.已知| a|=3,|b|=5,ab=12,则 a 在 b 上的投影为 .14.设 a=(-4,3),b=(5,2),则 2|a - ab .2|115.已知 a=(6,2),b=(-4, ),直线 l 过点 A(3,-1) ,且与向量 a+2b 垂直，则直线 l 的一般式方程是 . 16.把函数 的图象按向量 a 平移后，得到 的图
5、象，且 ab ,c=(1,-542xy 2xy1),bc=4,则 b= .三、解答题(512 +14 74)17.若向量 a 的始点为 A(-2，4)，终点为 B(2，1). 求：(1)向量 a 的模.(2)与 a 平行的单位向量的坐标.(3)与 a 垂直的单位向量的坐标.18.设两向量 、 满足| |=2，| |=1, 、 的夹角为 60，若向量 2t +7 与1e21e21e2 1e2向量 +t 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.1e219.已知向量 a=( , ),b=( , ),且 x - , .x23cosin2cosxin34（1 ）求 ab 及|a+ b|;（2 ）若 f (
6、x)=ab-|a+b|,求 f (x)的最大值和最小值.20.设 a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、 yR,i 、j 分别是 x、y 轴正方向上的单位向量 )，且|a |=|b|.(1)求点 M (x,y)的轨迹 C 的方程；(2)过点(4,0)作直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，设 = + ，求证：四边形 OAPB 为OPAB矩形.21.已知ABC 的顶点为 A(0， 0)，B(4，8)，C(6，-4).M 点在线段 AB 上，且=3 ，P 点在线段 AC 上，APM 的面积是ABC 的面积的一半，求点 M、P 的坐标.AMB22.如图所示，有两条相交成 60角的直路 X
7、X和 YY，交点是 O，甲、乙分别在OX、OY 上，起初甲离 O 点 3 km，乙离 O 点 1 km，后来两人同时用 4 km/h 的速度，甲沿XX方向，乙沿 YY 的方向步行.(1)起初，两人的距离是多少?(2)用包含 t 的式子表示 t h 后两人的距离.(3)什么时候两人的距离最短?第 22 题图参考答案1.B 由向量的数量积的定义即知.2.C AB CD,且 AD=BC,AB CD,故选 C.3.A 点( x,y)按向量 a（1，-1）平移后的点(x,y)， 即 y+1 sin(x-1), 即 y=sin( x-1)-1. 4.D 设点 M(x,y)， 521)(304点 M 的坐标
8、为 (0,-5).5.C 设 a=( , )，b=( , )，由|a+b|=|a-b|，1xy2xy得 ，即 0.212121 )( y1x21y2又 ab= ，ab0.x21y26.B |a+b| = ,cos|ba7=1+4-4cos 即 cos=- ，a 与 b 的夹角 的余弦值为 .2217.A a=(3,-4),b=(1- n,3n),9n=-4(1- n),n=- ,故选 A.548.D 若两两夹角为 0,则|a+ b+c|=|a|+|b|+|c|=11;若两两夹角为 120,则|a+b+c =|a +|b +|c +2|a|b|cos120+2|b|c|cos120+2|a|c|
9、cos1202|2|=1+9+49+2(- )(13+37+17)=28,|a+b+c|=2 .179.D = cos120=-2.故选 D.ABC210.C 由 ，)(2244 bacba得 ，22)(c = ab=2abccosC，cosC= ,C=45 或 135.22ba 211.D 由平移公式，应有 .xfxcos)(1)4(sin2即 ,f (x)=2sinx.fxco)2cos(12.D 设 C(x,y), = + ,OAB(x, y)=(3,1)+(-1,3)=(3,)+(- ,3 )=(3-, +3). 又+ =1,x+2y-5=0.313. a b=|a|b|cos, a
10、在 b 上的投影为 .512 51214.57 2|a - ab=2(169)- (-20+6)=50+7=57.2| 2115.2x-3y-9=0 设 l 的一个方向向量为(m,n).a+2b=(-2,3),直线 l 与向量 a+2b 垂直，即-2m+3n=0,直线 l 的斜率 k= ,直线 l 的方程为 y+1= (x-3),即 2x-3y-9=0.3316.(3,-1) ,22 )1(54xyxya=(-1,-3),设 b=( , ),则 .0xy1340300yy17.解 (1)a （2，1）-（-2，4）= （4，3） ，|a| .AB 5)3(422(2)与 a 平行的单位向量是
11、(4，-3)=( ，- )或(- ， ).|a515(3)设与 a 垂直的单位向量是 e=(m,n)，则 ae4 m-3n0, .43又|e|1 ， .解得 m= ,n= 或 m=- ,n=- .125353e( ， )或(- ，- ).534518.解 =4, =1, =21cos60=1,21e21(2t +7 )( +t )=2t +(2 +7) +7t =2 +15t+7.21e21e222 +15t+70, =2cosx.34|b(2)f (x)=cos2x-2cosx=2 .23)1(cos2cso2 x- , , cosx1.341当 cosx= 时，f (x)取得最小值- ;当
12、 cosx=1 时，f (x)取最大值-1.22320.(1)解 由已知|a|=|b|，即 ,21)(y整理得 xy42(2)证明 由已知只需证 即可，即证 =0.OABOAB设 A ( , ),B ( , ), 当 lx 轴时，A (4,4),B (4,-4), + =0,即 .1xy2 1x2yOAB当 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的斜率为 k，l 的方程为 y=k(x-4)(k0)， 将代入得 .016)48(222k , =16.2214x1x= .y 16)8(46)(221 kkk + =0, .故得证.1x2yOAB21.解 如图，M 分 的比 3，则 M 的坐标为 6318
13、04Myx由 ，得 .21ABCMPS21sinACBP又 ， .433 ，即 P 分 所成的比 2.123821)4(06Pyx则 M(3，6) ，P (4，- )为所求.22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是 A、B，则由余弦定理 231 7.60cos22OOAB2所以甲、乙两人的距离是 AB km.7(2)设甲、乙两人 t h 后的位置分别是 P、Q，则 AP4 t,BQ4 t.当 0t 时，由余弦定理得 ，43 60cos)41(32)1()3(22 tt当 t 时， . 0cos41)3(22 tttPQ注意到上面两式实际上是统一的，所以 ,7248)36()86()9416( 2222 tttt即 PQ .782t(3) ， 当 t= 时，PQ 的最小值是 2.即在第 15 min 末 PQ 最短.4)1(2tPO1第 21 题图解
