1、初三数学培优卷：二次函数考点分析二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）一般式：y=ax 2+bx+c，三个点顶点式：y=a（xh） 2+k，顶点坐标对称轴顶点坐标（ ba， 4c） 顶点坐标（h，k）a b c 作用分析a的大小决定了开口的宽窄，a越大，开口越小，a越小，开口越大，a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当 b=0 时，对称轴 x=0，即对称轴为 y 轴，当 a，b 同号时，对称轴 x=20，即对称轴在 y 轴右侧， （ 左同右异 y 轴为0）c的符号决定了抛物
2、线与 y 轴交点的位置，c=0 时，抛物线经过原点，c0 时，与 y 轴交于正半轴；c0 时，与y轴交于负半轴，以上 a，b，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出交点式：y=a(x- x 1)(x- x2)， （有交点的情况）与 x 轴的两个交点坐标 x1，x 2 对称轴为 21h一元二次方程 根的分布情况02cbxa设方程 的不等两根为 且 ，相应的二次函数为 ，20axbca12,1220fxabc方程的根即为二次函数图象与 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）x表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 012,x
3、两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根小于0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f综合结论（不讨论） a02baf02baf0fa表二：（两根与 的大小比较）k分布情况两根都小于 即kx21, 两根都大于 即kx21,一个根小于 ，一个大于 即kk21x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfakk k表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 内nm,两根有且
4、仅有一根在 内nm,（图象有两种情况，只画了一种）一根在 内，另一根在nm,内，qp, qp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq综合结论（不讨论） a 0nfm0qfpnm根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 外，即在区间两侧 ， （图形分别如下）n, 12,xn需满足的条件是（1） 时， ； （2） 时，0a0fmn0a0fmn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况：,若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有
5、一根为 或0fmfn0fmnA m，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求出参数的值。如方程n ,在区间 上有一根，因为 ，所以 ，22xx1,31f2212mxxx另一根为 ，由 得 即为所求；m12m方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数2 n,00的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间 内，求 的取值范围。分析：由 即2460x3,030fA得出 ；由 即 得出 或 ，当153m154m21646m1m32时，根 ，即 满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；2,
6、x3,x综上分析，得出 或1例 1、已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。2110mxm例 2、已知方程 有两个不等正实根，求实数 的取值范围。2例 3、已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求243ymxxmx实数 的取值范围。m例 4、已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。230xxm1.解：由 即 ，从而得 即为所求的范围。210mfA210m12m2 解：由02fA28103320或 或 即为所求的范围。03m33 解：由 即 即为所求的范围。210fA210mA12m4 解：由题意有方程在区间 上只有一个正根，则 即为所求, 0fA4310A13m范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 内，由 计算检验，均不复合,题意，计算量稍大）
