1、1. 过点 Mo（1， ，1）且垂直于平面 的平面方 01201zyxzyx及程393 在平面 上找一点 p，使它与点 之间的距离02zyx ),512()34)3,12(及相等7 ),(5已知： = （ ）ABprjDCBACD， 则23),1(,5(),321A4 B1 C D2 7设平面方程为 ，则其位置（ ）0yxA平行于 x 轴 B平行于 y 轴 C平行于 z 轴 D过 z 轴8平面 与平面 的位置关系（ ）372z 015xA平行 B垂直 C相交 D重合9直线 与平面 的位置关系（ ）4yx32zyA平行 B垂直 C斜交 D直线在平面内10设点 到直线 的距离为（ ）)0,1(07
2、1zxA B C D565815D 7D 8B 9A 10A 3当 m=_时， 与 互相垂直kji532kjmi24设 ， ， ，则 = kjia2bc43)(baprjc4 过点 且垂直平面 直线方程为_），（ 3802zyx10曲面方程为： ，它是由曲线_绕_旋转而422成的3 ； 4 9 ； 10曲线 绕 z 轴m213xyx 142y旋转而成1设 ，则 （ ）0,21,3,12cba cba)(A8 B10 C D 21,3若 （ ）bakji ， 则， 且， 4/6A B C D )12()612(ji)4(ki)46(kj4若 （ ）的 夹 角与， 则 31213,), MMA B
3、 C D6246求平面 与平面 的夹角（ ）06zyx 05zyxA B C D238设点 ，则 MO 到 l 的距离为（ ）0421),13(zyxlMo， 直 线A B C D255329直线 （ ）夹 角 为与 平 面 62413zyxzyxA30 o B60 o C90 o D 5arcsin1D 3A 4C 6C 8A 9D 7求与平面 平行平面，使点 为这两个平面公垂线中点2zyx ),23(3确定 k 值，使三个平面： 通过同一328,14zyxzyxzykx条直线5求以向量 为棱的平行六面体的体积iji,7与平面 ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程052zyx
4、_8动点到点（0,0,5）的距离等于它到 x 轴的距离的曲面方程为_9曲面方程： 则曲面名称为_29162zyx10曲线 在 y z 面上的投影方程_22)1()(xzy1设 ， ， ，则 是否平行kjia3jibkjiccba与_1不平行7 ； 8 ；322zyx 25102zx9双叶双曲面； 10 034zyy练习题选参考答案1两非零向量 、 垂直，则有 或 ；平行则有 或ab0ba0Prajb 0ba或两向量对应坐标成比例。ba2若 ， ，则与 ， 轴均垂直的向量 。kji8632bax5680，b3曲线 在 面上的投影曲线方程为：4)2(yxzoz，投影柱面方程为： 。04z 4422
5、yz4 面上的曲线 分别绕 轴和 轴旋转所成旋转曲面方程为：xoz1942zxx， 。1922y22y5已知 ， ，则两向量所成夹角的角平分线上的单位4,03a14,5b向量为 。0026c， ，6以点 A ，B ，C ，D 为顶点的四面体的体积 V=),2(),3(),0()8,32(。1483062)61ADCB（二 计算1求点 P 关于直线 L: 的对称点坐标。)2,63(0421zyx解：直线 L 的方向向量 ，kjikjins 2121 取直线上的定点 ，将其化为参数式：）， 0(tzytx2过点 P 与直线 L 垂直的平面为： ，0)()6()3(x，192zy将直线的参数式代入垂
6、面方程有 ，从而点 P 在直线 L 上的投影坐标（直线t与垂面的交点）为 ，）， 451(设点 P 关于直线 L 的对称点坐标为 ，则有：)zyx，（，解之:2623zyx， 641z，2设直线 L 过点 M 且其与 y 轴相交，与直线 垂直，)1,3( 012:1zyxL求该直线方程。解：设 L 与 y 轴的交点为 N（0,t,0） ，其与直线 垂直，则 ，11tsMN从而由两点式有直线 L 的方程为： L: 432zyx3求直线 在平面 上的投影直线方程。1:zx 0:解：直线 与平面 的交点为 ，直线 上的点 在平面 上的投影为）， 0(L），（ 1，则 在 上的投影直线方程为：），（
7、021L0132zyx4求两平面 ， 所成二面角的角平分062:1zyx 84:2面方程。解：法一，设 为所求平面上任意一点，则由题意有：),(zyxP222 8)1(4)(16zyx消去绝对值得 )3zy即 02670257 xzyx和法二，所求平面过两平面 与 的交线，故可设其方程为：1)(84zyxzyx在该平面上任取一点， 如令 ，430可 得然后由点 到两平面的距离相等可解得 ，从而得到所求平面方)43,0(程。5设有直线 L1 和 L2 的方程分别为：L1： ，L 2：890zyx 12461zyx（1）证明 L1 与 L2 异面；（2）求两直线之间的距离；（3）求与两直线距离相等
8、的平面方程；（4）求与两直线都垂直相交的直线方程。解：直线 L1 ，L 2 上分别有定点 P1（-2，2，-9） ，P 2（1 ，-6，-4 ） ，其方向向量分别为 ，8,0s,s（1）由于 ，所以两直线异面。08153210)(21 Ps（2）由于 kjikjis4128021故过 与 平行的平面方程为2L1 08zyx则两直线的距离转化为求点 P1 到该平面的距离： 9)8(442)(2d（3）由题意，所求平面过线段 的中点 ，其法向量为1 )213,(，kjis21故所求平面方程为设 。),(zyxP0584z（4）设公垂线为 ，其方向向量 ，则：Lkjis8421相交所成平面 的法向量
9、 ，1L与 1 jiji 4326501 的方程为 ，134265zyx与 的交点（即公垂线与 的交点）2L2L)8,4.2(Q相交所成平面 的法向量 ，2与 2 kjikjis 1647912 的方程为 ，20164798zyx与 的交点（即公垂线与 的交点） ，1LL)7,4.2(P所以，公垂线方程为 1842z注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到（2 ）的另一解法。5. 求点 在直线 上的投影. )5,12(P:L131zyx解：过 作垂直于已知直线 的平面 ，则其法向量 ，于是平面的方)1,3(n程为 ，即 . 0)5(3)(zyx 0zyx将已
10、知直线的参数方程 代入 ，可得 ，因此点 在tztx3114t )5,12(P直线 上的投影即为平面 与直线 的交点 . LL),17(6. 求直线 在平面 上的投影直线的方程. :0832zyx:2zyx解：设所给直线 的平面束方程为 ，即L 0)83(，其中 为待定常数，要使该平面与已知平面)1()()2(zyx垂直，则有 ，解得 ，将其代入0)(3234，可得 ，因此直线 在平面8)()3()(zyx 2756zyxL上的投影直线方程为 . 122756x7.确定 的值，使直线 与平面 平行，并求直线 与平:L0zy1:zyxL面 之间的距离. 解：直线 的方向向量 ，要使直线 与平面
11、平行，只要nkjiji2102L（其中 为平面 的法向量） ，即 ，解得 . 令0sns),1(011，代入直线 的方程可得 ， ，直线 与平面 之间的距离1xL0y0zL. 3)1(| 22d8.求通过直线 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线0:zyxL. 12zyx解：设平面束方程为 ，即0)2(1zyxzyx， . 设平行于直线2)()()(x n)1,(的平面为 ，由 ，可知 ，12zy1)( 1令 ，代入直线 的方程，可得 平面 的方程为 ，即0xL00zy102)(yx. 设垂直于平面 的平面为 ，由 ，可得 ，y122)(4平面 的方程为 ，即 . 2453)(zyx
12、06536zyx（4）曲线 (a、b 为常数) 在 xOy 平面上投影曲线是zysinco（ ）. 022x（5）xOy 平面上曲线 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是 （1642yx）.16)(422zyx（7）方程 所表示的曲面名称为（双曲抛物面）. y（8）与两直线 及 都平行，且过原点的平面方程是（tzx1212zyx）. 0yx（10）与两平面 和 等距离的平面方程为（02zyx 032zyx）12zyx3. 已知点 和点 ，试在 轴上求一点 ，使得 的面积最小. )0,(A),1(BxCAB解：设 ，则 ， ，,xC2,0)0,1(A，故 的面积为kjxixkjiACB)1(20
13、1ABC，显然，当 时， 的面积最小，为)(2|212S 1x，所求点为 . 5)0,(6.求直线 在平面 上的投影直线绕 轴线转一周1:zyxL 012:zyxx所成曲面的方程. 解：过 作垂直于平面 的平面 ，所求的直线 在平面 上的投影就是平面 和0L的交线. 平面 的法向量为： ，则过点 的平面00 kjikjin23120 ),(10的方程为：0，即 . 所以投影线为 . 0)1(23)1(zyx 0123zyx0123zyx将投影线表示为以 为参数的形式： ，则绕 轴的旋转面的方程为x)12(xz，即 . 222 )1()(zy 046452zy8.已知两条直线的方程是 ， ，求过
14、 且121:zyxL 102:zyxL1L平行于 的平面方程. 2L解：因为所求平面过 ，所以点 在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方1)4,(向向量，因此平面的法向量为 . 因此所求平面的方程为kjikji43210，即 .)4()2(3)1(2zyx 08zyx9. 在过直线 的所有平面中，求和原点距离最大的平面. 021zyx解：设平面束方程为 ，即0)2(zyx，平面与原点的距离为1)()1()(zyx 31)2(6)()()2( |0| 22 d要使平面与原点的距离最大，只要 ，即该平面方程为 . 30zyx11. 求直线 绕 轴旋转所得旋转曲面的方程. 321zyx解：由于空间曲线 绕 轴旋转所得旋转曲面的方程为)(tztx)tz，消去参数 即可. )(22tzyxy)tt此直线的参数方程为 ，故该直线绕 轴旋转所得旋转曲面的方程为tzytx32z，消去参数 ，旋转曲面的方程为 .tztyx3)2(2 t 2295zyx12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1） . 0,1264zyxzyx（2） . 2（3） . 24,yxzyxz（4） . 2（5） ， . 2yxz2xz（6） ， ， ， . 01y3. 平面 与平面 互相垂直0:11DzCyBxA 0: 222 DzCyBxA
