1、第 1 页 共 9 页第二章 平面向量一、选择题1在ABC 中，AB AC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则( )A 与 共线 B 与 共线 BCDECC 与 相等 D 与 相等EA2下列命题正确的是( )A向量 与 是两平行向量BAB若 a，b 都是单位向量，则 abC若 ，则 A，B，C，D 四点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(1，3)，若点 C 满足 ，其中 ， R，且 1，则点 C 的轨迹方程为( )CABA3x2y110 B(x 1) 2(y1) 25C2x y0 Dx2y504已知 a、
2、b 是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则 a 与 b 的夹角是( )A B C D6323565已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)，则 ( P)A( )， (0，1) B ( )，(0， )BD 2C( )，(0，1) D( )， (0， )AC6ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则 ( )FA B EC D A7若平面向量 a 与 b 的夹角为 60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量 a 的(第 1 题)第 2 页 共 9 页模为( )A2 B4 C6 D128点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，
3、满足 ，OABOCA则点 O 是ABC 的( )A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点9在四边形 ABCD 中， a2b， 4ab， 5a3b，其中 a，b 不ABC共线，则四边形 ABCD 为( )A平行四边形 B矩形 C梯形 D菱形10如图，梯形 ABCD 中，| | |， 则相等向量是( )ADEFABA 与 B 与DCOC 与 D 与E二、填空题11已知向量 ( k，12)， (4，5)， ( k，10)，且 A，B，C 三点共OABOC线，则 k 12已知向量 a(x3，x 23x 4)与 相等，其中 M(1，3)，N (1，3)，则
4、x N13已知平面上三点 A，B，C 满足| |3，| |4，| |5，BCA则 的值等于 ABC14给定两个向量 a(3，4)，b(2，1)，且(am b)(ab)，则实数 m 等于 15已知 A，B，C 三点不共线，O 是ABC 内的一点，若 0，则 OOABC是ABC 的 (第 10 题)第 3 页 共 9 页16设平面内有四边形 ABCD 和点 O， a， b， c, d，若ABOCDacbd，则四边形 ABCD 的形状是 三、解答题17已知点 A(2，3)，B(5，4)，C (7，10)，若点 P 满足 (R)，试ABC求 为何值时，点 P 在第三象限内？18如图，已知ABC，A(7
5、，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D 分别是AB， AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于 F，求 (第 18 题)第 4 页 共 9 页19如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证：AFDE(利用向量证明)20已知向量 a(cos ，sin )，向量 b( ，1)，则 |2ab|的最大值3(第 19 题)第 5 页 共 9 页参考答案一、选择题1B解析：如图， 与 ， 与 不平行， 与 共线反ACDAEDB向2A解析：两个单位向量可能方向不同，故 B 不对若 ，可能 A，B，C ，D 四A点共线，故 C 不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相
6、同，故 D 也不对3D解析：提示：设 (x ，y)， (3，1)， (1，3)， (3 ， )，OAOBA ( ，3 )，又 (3 ， 3 )，BB (x，y)(3 ， 3 )， ，又 1，由此得到答案为 D yx4B解析：(a2b)a，(b2a)b，(a2b)aa 22ab0，(b2a)bb 22ab0， a 2b 2，即|a|b|a| 22|a|b|cos 2|a| 2cos解得 cos 21 a 与 b 的夹角是 35A解析：由平行四边形法则， ，又 ，由 的范围和向ABDCABC量数乘的长度， (0，1)6D解析：如图， ，AFE (第 6 题)(第 1 题)第 6 页 共 9 页7C
7、解析：由(a2b)(a3b)72，得 a2ab6b 272而|b|4，ab|a|b|cos 602|a|， |a| 22|a|9672，解得|a|68D解析：由 ，得 , OABOCAOBCOA即 ( )0，C故 0， ，同理可证 ，B O 是ABC 的三条高的交点9C解析： 8a2b2 ， 且| | |ADBCDBCADBC 四边形 ABCD 为梯形10D解析： 与 ， 与 ， 与 方向都不相同，不是相等向量ABCOAB二、填空题11 32解析：A，B ，C 三点共线等价于 ， 共线，ABC (4，5) (k，12)(4 k，7)，OA ( k，10)(4，5)( k4，5)，又 A，B ，
8、C 三点共线， 5(4 k)7( k4)， k 32121解析： M(1，3)，N(1，3)， (2，0)，又 a ，MN 解得432x41x或第 7 页 共 9 页 x11325解析：思路 1： 3， 4， 5，ABCA ABC 为直角三角形且ABC 90 ，即 ， 0，BCAB ABC AB ( )( )2C A25思路 2： 3， 4， 5，ABC90，BCA cosCAB ，cosBCA A5BC4根据数积定义，结合图(右图)知 0， cos ACE45( )16，BCC4 cos BAD35( )9AAB3 01692514 32解析：amb(32m，4m)，ab(1，5) (amb
9、)(ab)， (amb)(ab)(3 2m)1(4m)50 m 3215答案：重心解析：如图，以 ， 为邻边作 AOCF 交 ACOAC(第 15 题)D(第 13 题)第 8 页 共 9 页于点 E，则 ，又 ，OFACOAB 2 O 是ABC 的重心B16答案：平行四边形解析： acbd， abdc， BACD 四边形 ABCD 为平行四边形三、解答题171 解析：设点 P 的坐标为(x ，y)，则 (x，y)(2，3) (x2，y3)AP ( 5，4)(2，3) (7，10)(2，3)ABC(3，)( 5，7)(35， 7) ，APBC (x2，y3)(35，17) 即745yx要使点
10、P 在第三象限内，只需 解得 1018 ( ，2)DF47解析： A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，(4，3)， (3，5)A又 D 是 BC 的中点， ( ) (43，35)A21BC21 (7，8)( ，4)7又 M，N 分别是 AB，AC 的中点， F 是 AD 的中点， ( ，4)( ，2)D21AD277(第 18 题)第 9 页 共 9 页19证明：设 a， b，则 a b， b aABDAF21ED21 (a b)(b a) b2 a2 abFE2143又 ，且 ， a 2b 2，ab0 0， ADAFED本题也可以建平面直角坐标系后进行证明 20分析：思路 1：2ab(2cos ，2sin 1)，3 |2ab| 2(2cos )2(2sin 1) 284sin 4 cos 33又 4sin 4 cos 8(sin cos cos sin )8sin ( )，最大值为 8，3 |2ab| 2 的最大值为 16，|2ab|的最大值为 4思路 2：将向量 2a，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2ab|表示 2a，b 终点间的距离|2a|2，所以 2a 的终点是以原点为圆心，2 为半径的圆上的动点 P，b 的终点是该圆上的一个定点 Q，由圆的知识可知， |PQ|的最大值为直径的长为 4(第 19 题)
