1、空间向量与立体几何一.选择题1. 在下列命题中：若向量 共线，则向量 所在的直线平行；,ab,ab若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；,ab若三个向量 两两共面，则向量 共面；,c,c已知是空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数 x,y,z 使得,c p；其中正确的命题的个数是 （ ）pxaybz（A）0 （B）1 （C） 2 （D）32. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）（A） （ ）和（ ） ； （B ） （ ） ；32,2,10532,105（C） （ ）和（ ） ； （D） （ ） ；,1053, 2,3. 已知 A、B、C 三点不共线，点
2、 O 为平面 ABC 外的一点，则下列条件中，能得到 M平面 ABC 的充分条件是 （ ）（A） ； （B） ；122OMC13MOABC（C） ； （D） 24. 已知点 B 是点 A（3，7，-4）在 xOz 平面上的射影，则 等于 （ ）2()（A） （9，0，16） （ B）25 （C）5 （D）135. 设平面 内两个向量的坐标分别为（ 1，2，1） 、 （-1 ，1，2） ，则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）6. 如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB= BB1，则 AB1 与 C
3、1B 所成的角的大小为 （ ） （A） 60 （B）90 （C）105 （D）757. 到定点 的距离小于或等于 1 的点集合为（ ）1,0A. B.22|xyzyz22,|xyzyzC. D., 18. 已知 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么 等于（ ）ab 3abA B C D471019. 在平面直角坐标系中, ,沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120的二面角后,则(2,3)()A线段 AB 的长度为（ ） A B C D22210. 已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也
4、不必要条件二填空题11. 若空间三点 A（1，5，-2） ，B（2，4，1） ，C（p,3,q+2）共线，则p=_,q=_。12. 设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB 于 E(如图)现将ADE 沿 DE 折起，使二面角 ADEB 为 45，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_ 13. 如图，PA 平面 ABC，ACB=90且D CBAE NMBNMD CAPA=AC=BC=a 则异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值等于_；14.已知 ， ， ，若 共同作用于123Fijk23Fijk345Fijk123,F一物
5、体上，使物体从点 M（1，-2，1）移动到 N（3，1， 2） ，则合力所作的功是 .15. 已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 ,则侧面与底面所成的二面角等于 .6题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10题号题号 11 12 13 14 15题号三解答题16. 设向量 并确定 的关系，使3,54,2,1832,abab， 计 算 ,轴垂直abz与17. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1，P、Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5 ：12，（1） 求线段 PQ 的长度；（2） 求证 PQAD； （3） 求证：PQ/平面 CD
6、D1C1；18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F 分别是 AD，PC 的中点 2（）证明：PC 平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。19. 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高 ，E 为 AD 中A点（1） 证明：PE BC（2） 若 APB= ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值20. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且 SA底面 ABCD,若边 BC 上
7、存在异于 B,C 的一点 P,使得 .PSD(1)求 a 的最大值;(2)当 a 取最大值时,求异面直线 AP 与 SD 所成角的大小;(3)当 a 取最大值时,求平面 SCD 的一个单位法向量 n及点 P 到平面 SCD 的距离.21. 如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA平面 ABCD,PA=2,现有数据: ;32a ; ; ; ;1a32a4(1)当在 BC 边上存在点 Q,使 PQQD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;(2)在满足(1) 的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值;(3)记满足(1) 的条件下的
8、Q 点为 Qn(n=1,2,3,),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点Qn 有几个?试求二面角 Qn-PA-Qn+1 的大小;答案1-5 AABBB 6-10 BACBB11. 3，2 12. 13. 14. 14 15. 302316. 解： （9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)(,54)(,18)ab(3,5,-4) (2,1,8)=6+5-32=-21由 ()(0,1(32,4) (0,1480即当 满足 0 即使 与 z 轴垂直.,48ab17. 解：以 D 为坐标原点。DA、DC 、DD 1 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的
9、棱长为 1，所以 D（0，0，0） ，D 1（0，0， 1） ，B （1，1，0） ，A（1，0，0） ，P、Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5 ：12， P ，Q （ ） ， ，所以52(,)75,752(,)7PQ（1） ；3|1Q（2） ， ，PQAD；(,0)A0DA（3） ， ， ，又 平面,DC1(,) 15217QDC1,DCCDD1C1，PQ 平面 CDD1C1，PQ/ 平面 CDD1C1；18. 解法一 （ ）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD， AP 算在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=2 2
10、,四边形 ABCD 是矩形。A，B，C，D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0)，D(0，2 2，0)，P(0,0,2)又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0， 2，0),F(1， 2，1)。 =（2，2 2，-PC2） =（-1， 2，1） =（1,0, 1） ， =-2+4-2=0， =2+0-2=0，EFPCBFEF ， ，PCBF,PCEF,BF EF=F,来源:Zxxk.Com PC平面 BEFPCB（II）由（I）知平面 BEF 的法向量平面 BAP 的法向量设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 =45， 平面 BEF 与平面 BA
11、P 的夹角为 45解法二 （I）连接 PE，EC 在 PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即 PEC 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，EFPC,又 ，F 是 PC 的中点，BFPC.来源:学科网 ZXXK又19.解：以 为原点， 分别为 轴，线段 的长为单位长， 建立空间直H,ABHP,xyzHA角坐标系如图， 则 (10)(,)（）设 则 ,0Cmn1(,0)(,).2mDE可得 因为 所以 ()(,1).2PEBPBCPEBC（）由已知条件可得 33,1mnC故 (,0)设 为平面 的法向量31(0,),(,0)(,)26DEP(,)xyPEH则 即 因此可以取 ，,
12、nHoP13026xyz(1,30)n由 ，可得 (1,0)A 2cos,4PA所以直线 与平面 所成角的正弦值为PEH20. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0x2)(1) ,1PSax,20PDax由 得: 2()即: 2()0xx当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC 中点;(2) 由(1)知: (1,)(,21)APSD 0cos, ,5异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为 10cos.5ar(3) 设 是平面 SCD 的一个
13、法向量,1,nxyz(1,0)(,21)SDC由 得1100212xxnCDyzySA取 (,2)n平面 SCD 的一个单位法向量 150,(,),5n又 在 方向上的投影为(0,1)CPn,1nCP点 P 到平面 SCD 的距离为 5.21.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0x2)(1) ,2,20,PQaxDax由 PQQD 得 22()()x 0,0,1xax在所给数据中,a 可取 和 两个值.32a(2) 由 (1)知 ,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点, 点 Q 的坐标为(1,1,0)1a从而 又 为平面 ADP 的一个法向量,P10AB ,6cos,直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为 5.(3) 由 (1)知 ,此时 ,即满足条件的点 Q 有两个, 32a132x或其坐标为 12,0,0Q和PA平面 ABCD,PAAQ 1,PAAQ 2,Q 1AQ2 就是二面角 Q1-PA-Q2 的平面角.由 ,得Q 1AQ2=30,121234cos,A二面角 Q1-PA-Q2 的大小为 30.
