1、1高考向量专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： .0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与 共线的单位向量是 .ABAB（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共线向量，记作： .ab向量 与 共线，则有且仅有唯一一个实数 ，使 ；)0(abab规定：零向量和任何向量平行；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（6）向量的加
2、法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设 ， ，则 ；),(1yxa),(2yxb),(212yxba（2）设 ， ，则 ；（3）设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 = ；A1,xy2,AB),(12yx（4）设 ， ，向量平行 ；),(1yxa),(2bba/121yx（5）设两个非零向量 ， ，则 ，1yx),(2yx所以 ；002（6）若 ，则 ；),(yxayxa（7）定比分点：设点 是直线 上异于 的任意一点，若存在一个实数 ，使P21,p21, ，则 叫做点 分有向线段 所成的比， 点叫做有向线段 的以定比为21PP21P的定比分点；当 分有
3、向线段 所成的比为 ，则点 分有向线段 所成的比为 .21注意：设 、 ， 分有向线段 所成的比为 ，则1(,)xy2(,)xy(,)x21， 21xy在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，即分别为分点，起(,)xy,)2(,)xy2点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 .当 时，就得到线段 的中点公式 .112P12xy 的符号与分点 的位置之间的关系：P当 点在线段 上时 ；210当 点在线段 的延长线上时 ；1当 点在线段 的反向延长线上时 ；21 03.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量 、
4、，作 ， ，abaOAbBAO称为向量 、 的夹角。0ab（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 、 ，它们的夹角为 ，我们把数量叫做 与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即 .cosba bacosba零向量与任一向量的数量积是 0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3） 在 上的投影为 ，投影是一个实数，不一定大于 0.cosb（4） 的几何意义：数量积 等于 与 在 上的投影的乘积。baaba（5）向量数量积的应用：设两个非零向量 、 ，其夹角为 ，则 ，bacos当 时， 为直角；0ba当 时， 为锐角或 同向；注意： 是 为锐角的_条件； ba, 0ba当 时，
5、 为钝角或 反向；注意： 是 为钝角的_条件；（6）向量三角不等式： 当 同向 ， ；ba, baba当 反向 ， ；,当 不共线 ；ba, baba34.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内1e2的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 成立，我们把不共线的向量 、a21ea1e叫做这一平面内所有向量的一组基底。2e（2）O 为平面任意一点，A、B、C 为平面另外三点，则 A、B、C 三点共线且 .21 125.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平
6、面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若 、 、 三个向量共面，则 .同时，对于空间任意一点 O，存在MP MA MB MByAxP，其中 _ OnmyxOnm例 1.下列命题： 若 与 共线，则存在唯一的实数 ，使 = ； 若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面； 、 、 向量 、 、 共面，则它们所在直线也共面； 若 A、B 、C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点，若 ，则点 M 一定在平=13+13+13面 ABC 上，且在 内部；若 ，且 ，则 ；ba/c/a/若 ，则它们的夹角为锐角；0其中正确的命题有_（填序号）例 2.已知向量 ， 夹角为
7、 ，| |=2，对任意 xR，有| +x | - |，则|t - |+|t - |（tR）的最小 3 2值是_4例 3.如图，在等腰三角形 ABC 中，已知|AB|=| AC|=1，A=120，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 ，且 ，（0，1），且 +4=1，若线段 EF、BC 的中点分别为=， =M、N，则 的最小值为_例 4.已知平面向量 ， ， 满足| |= ，| |=1， =-1，且 - 与 - 的夹角为 ，则| |的最大值为 2 4 _变式训练：1.已知向量 =（-1，-2）， =（1，），若 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是 _2.在ABC 中，|AB|=5，|AC|=6
8、，若 B=2C，则向量 在 上的投影是_3.如图，在 中，已知BAC= ，| |=2，| |=3，点 D 为边 BC 上一点，满足ABC3 +2 =3 ，点 E 是 AD 上一点，满足 =2 ，则| |=_ 4.在平面四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，且AB=1， ，CD= 若 ，则 的值为_=2 3 =15 55.向量 的夹角为 120，| |=| |=2，| |=4，则| + - |的最大值为_， 66.已知 O 是面 上一定点，A，B，C 是平面 上 的三个顶点，B、C 分别是边AAC、AB 的对角。以下命题正确的是_（填序号）动点 P 满足 = + + ，
9、则 的外心一定在满足条件的 P 点集合中； 动点 P 满足 = +（ + ）（0），则 的内心一定在满足条件的 P 点集合中； | AB动点 P 满足 = +（ + ）（0），则 的重心一定在满足条件的 P 点集 | C合中； 动点 P 满足 = +（ + ）（0），则 的垂心一定在满足条件的 P 点 | AB集合中；动点 P 满足 = +（ + ）（0），则 的外心一定在满足条件的 P+2 | C点集合中；7.已知 O 是锐角三角形ABC 的外接圆的圆心，且A= ，若 ，6+=2则 m=_8.（2017 全国）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则（ + ）的
10、最小值是 _9.在 中，点 A 在 OM 上，点 B 在 ON 上，且 AB/MN，2OA=OM，若 =x +y ，则OMN终点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界）时， 的取值范围为_ +2+110.如图，在直角坐标系中，ABC 是以（2，1）为圆心，1 为半径的圆的内接正三角形，ABC 可绕圆心旋转， M、N 分别是边 AC、AB 的中点， 的取值范围是ONM_7811.如图，已知点 P（2，0），且正方形 ABCD 内接于O：x 2+y2=1，M 、N 分别为边 AB、BC的中点当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时， 的取值范围为_ 12.如图，矩形 ORTM 内放置 5 个边长均为
11、 的小正方形，其中 A，B，C ，D 在矩形的边上，3且 E 为 AD 的中点，则（ - ） = _ 13.（2017 浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC ，AB=BC=AD=2 ，CD=3，AC 与BD 交于点 O，记 I1= ，I 2= ，I 3= ，则（ ）BAOCDA.I1I 2I 3 B.I1I 3I 2 C.I3I 1I 2 D.I2I 1I 314.在坐标系 中，O 点坐标为（0，0） ，点 A（3，4） ，点 B（-4，3） ，点 P 在AOB 的角平xoy分线上，且 OP 长度为 ，则点 P 坐标为_515.（2017 浙江）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值
12、是 ab12bab，最大值是 16.如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 B3C3 上有 10 个不同的点P1，P 2，P 10，记 = ，则 m1+m2+m10 的值为_im)0,321(iAPB917.已知向量 、 满足| |=1，| |=2，若对任意单位向量 ，均有| |+| | ，则当取最小值时，向量 与 的夹角为_（用反三角表示）18.正十二边形 A1A2A12 内接于半径为 1 的圆，从 、 、 、 这 12 个向量中任取两个，记它们的数量积为 S，则 S 的最大值等于_19.已知正方体 ABCD-EFGH 的棱长为 1，若 P 点在正方体的内部且满足 ，=34+12+23则 P 点到直线 AB 的距离为_20.已知 =（1 ，2，3 ） ， =（2 ，1，2） ， =（1，1，2 ） ，点 Q 在直线 OP 上运动，OABO则当 取得最小值时，点 Q 的坐标为_QB
