1、 抛物线及其标准方程教学设计双辽二中 侯建英1. 教学内容解析圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本节内容主要是抛物线的定义及抛物线四种形式的标准方程，是在初中学了二次函数、同时又是继椭圆、双曲线之后的又一解析几何的重点内容，它有着广泛的应用，能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，也是以后学习微积分的基础。因此本节内容起到一个承上启下的作用。一定要引起学生足够的重视。2. 目标设置（）知识与技能：理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程
2、；并能根据条件确定抛物线的标准方程。 （）过程与方法：通过抛物线的定义的学习，加深学生对数形结合的应用，培养学生在解决数学问题时能够具备观察、类比、分析、猜想、归纳、计算的能力（3）情感、态度与价值观：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数与形”的辩证统一.培养学生善于观察，勤于思考，敢于钻研的良好的学习品质.3. 学生学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础
3、知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.学习困难的治疗学习困难是学习障碍中常见的一种，对学习困难进行正确的疏导是非常重要的，我们一般采取的方法为自我心理疗法：相信自己的潜能.学习是旨在掌握作为现代社会一员从事社会生活并对社会做出贡献所必须的知识、技能、态度，因而，学习是促进心智发展所必不可少的.在某些方面暂时的“无知”是难免的，但要深信自己的潜能，对学习目标不能急于求成.当然，因为自己学习上有“问题”，所以有时候你
4、会受到责难和批评.但你不要丧失自信，只要你一步一步不断努力，你得到的将不再是责难，而是赞扬和鼓励.对自己的困难要正确归因.如果感到有学习困难的问题，不妨先分析原因，是基础知识、基本技能、学习方法、学习习惯等方面的问题，还是自己在心智活动或认识活动上存在某些缺点.如果你自己也说不清楚，就不妨与老师谈谈，把心里的想法告诉老师，让老师了解你，相信老师会帮助你的，因为老师总是希望自己的学生取得进步.然后在老师的帮助下，有针对地制定个别教学计划和目标，慢慢地改变学习中存在的问题，如此，困难就会逐渐消失.4教学策略分析学生在学习过程中存在下列问题情感缺乏情感是人对客观事物所持态度的体验.情感既是学习的重要
5、目标，又是促使学生完成学习任务的重要手段，在学生的学习过程中具有十分重要的地位.情感缺乏的学生对学习，对与人交往等都缺乏热情，一直处于学习的集体之外，无法与班级、同学、老师相容，知识本身也无法引起他的兴趣.激发他们的情感是十分困难的.缺乏学习的热情，他们不可能认真、自觉地去学习，长久下来，再加上年级的增高，知识的深度、广度的增加，就形成了学习困难.意志缺陷意志是指学生在明确学习目的的情况下，克服和排除学习中的困难和干扰，以顽强的意志完成学习任务的品质.缺乏意志的学生学习目的不明确，既不考虑个人的前途命运，也没有社会责任感.在学习的过程中，常会通到各种各样的困难，他们往往是害怕困难，绕道而行，烦
6、躁的情绪时常出现.他们缺乏毅力，在学习中就很难获取成功.人的意志不是天生的，是在实践中通过克服困难发展起来的，困难是培养学生毅力的磨刀石.畏惧困难，经常失败，对他们自身意志力的形成与发展也是十分不利的.不够主动这类学生性格内向.在与同学、老师的交往中欠缺主动，情绪的变化一般不显露在外表，不善于表达自己的意愿，交往中往往是被动按别人意见行动.自信心不够，自我评价总是偏低，在挫折面前往往一蹶不振.鉴于以上几点，教学将采取以下策略：1.采用启发式教学；创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，是学生有被动接受转向主动学习；2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法，进而学习抛物线体系
7、；3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。根据教学内容及要求，拟定教学重、难点如下：（1）教学重点：抛物线的定义及其标准方程。（2）教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导。教学方法：启导探究式教学用具：多媒体课件5. 教学过程设计（1）设置情景，引发探究课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知 F 是平面上一个定点， 是平面上不过点 F 的一条定直线，点 M 到定点 F 的距离和到定直线 的距离的比是一个常数 e，改变这两个距离大小的关系（即常数 e 的大小），观察动点 M 的轨迹。学生观察 ：两个距离大小的变化；并追踪：动点 M 得到的
8、轨迹形状。然后记下实验追踪结果。学生交流：当 oe1 时动点 M 得到的轨迹是椭圆；当 e1 时是双曲线。引发探究：进而引发探究欲望：当 e=1 时，它又是什么曲线呢？设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能。激起学生的情感体验，有利于学生学习兴趣的激发，也有利于学生良好数学观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让学生产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学习。上述教学设计通过信息技术设置一个直观性问题情景，激发了学生探究的欲望，这时学生自然地产生了探究当动点到一定点距离与定直线距离相等（即 ）时点的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在“观察”、“思考”
9、、“探究”等活动中，自己发现问题、提出问题。（2）观察归纳，形成定义观察：当 e=1 时，曲线上的动点满足怎样几何特征？让学生通过独立思考和互相讨论，并交流看法。针对学生的回答进行引导，把学生的思维一步步引入发现规律的最近区域，最终使得学生发现：曲线上的点到定点的距离和到一条定直线的距离相等。归纳：抛物线的定义要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线。规范学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字。定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。强调定义的中心句和关键词（让学生自己找出）。并与椭圆、双曲线的定义进行比
10、较。反思：在抛物线定义中，要注意定点 F 不在定直线 上。 若定点 F 在定直线 上，则动点的轨迹又是什么图形呢？（此时退化为过 F 点且与直线 垂直的一条直线）。自我提升：让同学们说一说生活中有哪些图形是抛物线。然后教师用幻灯片播放一些典型的抛物线型标志性建筑，如中国的赵州桥，世界第一大拱桥卢浦大桥、北京奥运会主场馆的拱顶、夜色下喷水池喷出的彩色水流等，让学生欣赏审美，陶冶情操，激发兴趣。设计意图：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比较、分析、概括能力的培养，注重 反思环节的落实。通过学生亲身实践、主动思维，让学生在实践中得到体验，在
11、反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。（3）合作交流，导出方程类比：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程（用屏幕显示图形），让学生认真捉摸坐标系的位置特点，感悟求抛物线的方程应建立怎样的直角坐标系最好（力求使其方程形式最简单）。也可以帮助学生回顾初中二次函数图象的平移变化，从而感悟到要得到抛物线的最简方程， 必须使图象过坐标原点（可使常数项为零）；使图象的对称轴为 x 轴(或 y轴)（可使方
12、程中不含 y(或 x)的一次项）。合作：师生合作共同推导抛物线的标准方程请学生将自己的感悟画在纸板上。学生分两人一组互相讨论，老师展示几组学生的建系方案，一一作出评价。选择正确的一个建系方案师生一起探究抛物线方程的建立。如推导焦点 F 在 x 轴正半轴上的抛物线标准方程。设焦点 F 在 x 轴的正半轴上，焦点 F 到准线 L 的垂线段 FN 的垂直平分线为 y 轴，设|FN|=p。请学生口头叙述焦点 F 的坐标和准线 L 的方程。师生共同推导出抛物线方程：y 2=2px（p0）指出这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示焦点 F 在 x 轴正半轴上，顶点在原点的抛物线, 其准线为 x=-p/2反思
13、：建系方案的合理性。在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系。这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。探究：抛物线的标准方程的其它形式在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式？让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格图形 标准方程 焦点位置 焦点坐标 准线方程y2=2px（p0）x 轴正半轴上 (p/2,0) x=-p/2观察、归纳，寻找异同：相同点 不同点1.顶点在原点；2.对称轴在坐标轴；3.顶点
14、到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为 。 的几何意义是焦点到准线的距离。4.焦点的非零坐标是一次项系数的 。1.一次项变量为 x（y），则对称轴为 x（y）轴；2.焦点在 x（y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在 x（y）轴的负半轴上，开口向左（向下），一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。再反思：抛物线四种形式的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系。从前面求椭圆、双曲线、抛物线标准方程的过程中，你是否深刻感悟到：求轨迹方程时，如何才能建立适当的坐标系？设计意图：教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能变得更加清晰；通过多边合作，
15、又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上y2=-2px(p0)x 轴负半轴上 (-p/2,0) x=p/2x2=2py(p0)y 轴正半轴上 (0,p/2) y=-p/2x2=-2py（p0）y 轴负半轴上 (0,-p/2) y=p/2述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。（4）练习反馈，巩固提高会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程例 1 例 1 （1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x，求它的焦点坐标和准
16、线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2） ，求它的标准方程.解：（1）因为 p=3,所以焦点坐标是 准线方程是),3(.23（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 所以所求抛物线的标准方程是,42px2=8 y. 变式练习 1 练习：课本 P.67 练习 1，2，3.感悟：你能说明二次函数 的图象为什么是抛物线吗？如何才能正确地求出它的焦点坐标、准线方程？能根据条件求出抛物线的标准方程例 2 已知抛物线的焦点是 F （0，-4），求它的标准方程。变式练习 2：已知抛物线的焦点 F 到准线 L 的距离为 4。根据下列条件求此抛物线的标准方程。（1）若焦点 F 在 y 轴正半轴上；（2
17、）若焦点 F 在 y 轴上；（3）若焦点 F 在 x 轴上；（4）若焦点 F 在坐标轴上。（5）焦点在直线 y=x 上(教师做出相应提示)规律总结：求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法。关键是定轴向求 p 值写方程。（若开口方向不定，则要注意分类讨论的思想。）在认识事物的过程中，我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点，还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点。设计意图：以课本例题为本，通过变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程。（5）自我总结，
18、提炼升华让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：抛物线的定义（其本质属性）；抛物线的标准方程（注意四种形式的异同）；求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法。步骤是：定轴向求 p 值写方程。设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。（6）. 目标检测设计（1）书面作业：A 组 1（2）、（4）； 4（1）（2）（必做）求经过点 p（4，-2）的抛物线的标准方程。（选做）（2）探究：抛物线的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件。试说出焦参数 对抛物线的开口大小有什么影响吗？同学们在初中学习过二次函数，为什么二次函数 的图象是抛物线？设计意图：为体现以学生发展为本的理念，使不同学生在数学上获得不同的发展，本作业依一定梯度进行设计，并抛出两个课后探究性问题，既是对本节课有关内容的延伸、拓展，回应了本节课内容，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感。同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现了个性化的学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验，有效地促进不同层次学生的发展。6.反思预期效果教学中基本实现教学目标，能够掌握抛物线的标准方程，进行也能应用其解题，但学生在独立解题时，较难题目仍需帮助提示。
