微分几何陈维桓习题答案(共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面上，命，. 对于赤道平面上的任意一点，可以作为一的一条直线经过两点，它与球面有唯一的交点，记为. (1) 证明：点的坐标是，并且它给出了球面上去掉北极的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设. 如图，三点共线，故有使得. (1)由于，取上式两边的模长平方，得. 从而，. (2)由(1)可知，又，所以， . (3)因此给出了的正则参数表示. (2)令是两点连线与赤道平面的交点. 同理，有，. (4)， . (5)因此(4)给出了的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得，从而上面两种正则参数表示在公共部分上的参数变换公