1、连续小波 变换连续小波变换 连续小波变换是信号时 -频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。结果，在很暂短的高频现象上，小波变换能比窗口 Fourier变换更好地 ”移近 ”观察。 对于小波函数 (t) ，函数 的连续小波变换为也常记为 上面用到了小波变换的计算 注意第 2讲中函数 的卷枳定义 记 ，连续小波变换可写为卷积其中证明 事实上，由卷积的定义，得再注意 ，即可得证。小波变换性质 定理 设 是小波而 ，则 (线性 ) (平移 )其中 是平移算子 。(3)(伸缩 )其中 是伸缩算子 。小波变换性质 (续 )(4) (对称性 )(5)(奇偶
2、性 )其中 P是反射算子 (奇偶算子 )(6)(反线性性 )(7)(小波平移 )(8)(小波伸缩 )小波重构 如果 是一个基小波，则有 Parseval恒等式 以及重构公式 上面讨 a的积分是从负无穷到正无穷的。由于 a代表频率的变化，这时有正频率也有负频率。在信号分析中，我们只考虑正频率。小波重构 (续 ) 由伸缩因子 a 对频率的影响可以看到，频率变量 是膨账参数 a 的倒数的正的常数倍，例如，写为 ，其中 是 的中心 (假定 总是正的 )，这样，我们只需考虑 a的正值。 在连续小波变换重构 f 中，现在只允许使用值 。这时，对小波 还需加上进一步的限制小波重构 (续 2) 定理 令 是满
3、足上述条件 (1)的基小波，那么对所有 成立。进而 ,对于任何和在 f 的连续点 ，有附注 定理的证明完全类似于不限制 a的情形 ,只需注意不同小波的重构公式 上面重构公式与 Parseval恒等式要求 f,g 的小波变换都是对同一小波进行的。如使用不同小波进行变换，容许性条件变为 这时的 Parseval恒等式是 重构公式是 这时要对 加上较多条件 : , 是可微的 ,且 并且小波生成方法 Gauss小波和 Mexic帽小波是 Gauss函数的一、二阶导数生成的。这样由光滑函数的导数得到小波函数的作法对一般情形也成立。设(t)是光滑函数，满足 则 就一定是小波函数，因为 如果 (t)是满足容许性条件的基小波，则由下述定理可以构造更多的基小波。 定理 如果 是一个基小波， 是一个有界可积函数，那么卷积 是基小波。
