1、课题三 线性方程组的迭代法一、问题提出对课题二所列目的和意义的线性方程组，试分别选用 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和 SOR 方法计算其解。1、设线性方程组=042310208656513394402107028656542511930427102048863 12367891xxx05032x*=（1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2） T2、设对称正定阵系数阵线方程组=0402401385626024104352039 12345678xx0124x*=（1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2） T3、三对角形线性方程组=4100
2、01401004 12345678910xxx71245x*=（2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1） T二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较； 2、分别对不同精度要求，如 =10 -3，10 -4，10 -5 由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢； 3、对方程组 2，3 使用 SOR 方法时，选取松弛因子=0.8 ，0.9， 1，1.1，1.2 等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较； 2、运用所学的迭代法
3、算法，解决各类线性方程组，编出算法程序； 3、体会上机计算时，终止步骤x (k+1)- x(k)（予给的迭代次数） ，对迭代法敛散性的意义； 4、体会初始解 x(0)，松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、迭代计算1、雅可比迭代法在进行雅可比迭代之前，我们应该先判断迭代是否能够收敛，这里我们使用雅可比迭代法收敛的充分必要条件（即，迭代矩阵的谱半径小于等于 1） 。1、判断方程组一使用雅可比迭代法是否收敛在 matlab 软件中编写程序：D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D(L+U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的雅
4、可比迭代矩阵的特征值分别为：1.6604 + 3.8389i；1.6604 - 3.8389i； -3.3952 ；-1.3286 + 1.5704i；-1.3286 - 1.5704i； -0.4754；-0.1912 ；0.9785 ；0.9568；1.4628 显然，其谱半径大于 1，则雅可比迭代法不收敛，故不可用雅可比迭代法进行迭代求解。 可用消去法求解，编写 matlab 高斯列主元消去法的程序如下：function X=Gauss_pivot(A,b)n=length(b);X=zeros(n,1);c=zeros(1,n);d1=0for i=1:n-1max=abs(A(i,i
5、);m=i;for j=i+1:n if max=emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endt=abs(x2-x1);r=max(t);x1=x2;k=k+1;if kNdisp(迭代失败，返回);return;endkend调用雅克比求解线性方程组的程序，取初值 x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，不同精度下求得解为：=10 -3：则 x2 = 2.0000；1.0000；-2.9997；-0.0006；1.0008； -2.0015；3.0010；-
6、0.0016；1.0007；-1.0007，迭代次数 k=10=10 -4：则 x2 =2.0000；1.0000；-2.9999；-0.0002 ；1.0002；-2.0003；3.0002；-0.0003；1.0001；-1.0001，迭代次数 k=12=10 -5 ：则 x2 = 2.0000；1.0000 ；-3.0000 ；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数 k=15由方程组三雅克比的迭代过程可以看出，精度越高，所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。当 =10 -5 时，x2 =
7、2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000，这与真值基本是相同的。2、高斯-赛德尔迭代法同样，在进行高斯-赛德尔迭代之前，我们应该先判断迭代是否能够收敛，这里我们使用高斯-赛德尔迭代法收敛的充分必要条件（即，迭代矩阵的谱半径小于等于 1） 。1、判断方程组一使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛在 matlab 软件中编写程序：D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)U;t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的高斯-赛德尔迭代矩
8、阵的特征值分别为： 0；17.1222；-0.8196 + 4.1041i；-0.8196 - 4.1041i ；0.9839；0.8639；-0.0220 + 0.1529i；-0.0220 - 0.1529i；0.4784；0.0000 显然，其谱半径为 r= 17.1222，大于 1，则高斯-赛德尔迭代法不收敛，故不可用高斯-赛德尔迭代法进行迭代求解。2、判断方程组二使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛与方程组一相似，求出方程组二的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值为： 0；0.9947；0.5849 + 0.0782i；0.5849 - 0.0782i； 0.3075 + 0.2159i；0.30
9、75 - 0.2159i；0.0291；-0.0000其谱半径 r=0.9947，小于 1，则方程组二使用高斯-赛德尔迭代法仍然收敛，故可用高斯-赛德尔迭代法求解。编写 matlab 高斯-赛德尔迭代法程序如下：function X=gseid(A,b,x0,delta,max1)N = length(b);for k=1:max1for j=1:Nif j=1X(1)=(b(1)-A(1,2:N)*x0(2:N)/A(1,1);elseif j=NX(N)=(b(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1)/A(N,N);elseX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)
10、-A(j,j+1:N)*x0(j+1:N)/A(j,j);endendt=abs(X-x0);r=max(t);x0=X;if (rdelta)breakendkend调用高斯-赛德尔求解线性方程组的程序，取初值 x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，不同精度下求得解为：=10 -3：则 x2 =1.3126；-1.3619；0.0775；1.8468；1.0320；-1.0685；0.0209；1.9882，迭代次数 k=7=10 -4：则 x2 =1.1604；-1.1886；0.0377；1.9166 ；1.0133；-1.0342；0.0082； 1.9953，迭代次数 k=1
11、32=10 -5 ：则 x2 =1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995，迭代次数 k=569由方程组二的高斯-赛德尔迭代过程可以看出，精度越高，所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。当 =10 -5 时，x2 = 1.0160； -1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995，这与真值 x*=（1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2） T基本是相同的。3、判断方程组三使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛与方程组一、方程组二相似，求出方
12、程组二的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值为：0；0.2302 ； 0.1769；0.1072 ；0.0431；0.0051；-0.0000 + 0.0000i；-0.0000 - 0.0000i；0.0000；-0.0000其谱半径为 0.2302，小于 1，则方程组三使用高斯-赛德尔迭代法收敛，故可用高斯- 赛德尔迭代法求解。调用高斯-赛德尔求解线性方程组的程序，取初值 x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，不同精度下求得解为：=10 -3：则 x2 =2.0016；0.999；-3.0021；-0.0028；0.9986；-2.0003；3.0001 0.0001；1.0000；-1.
13、0000，迭代次数 k=4=10 -4：则 x2 =1.9999；0.9998；-3.0002；-0.0001；1.0000；-2.0000；3.0000 0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数 k=6=10 -5 ：则 x2 = 2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000 0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数 k= 8当 =10 -5 时，x2 =2.0000；1.0000；-3.0000 ；-0.0000 ；1.0000；-2.0000；3.0000 0.0000；1.0000；-1.0000，这与真
14、值 x*=（2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1） T是相同的。3、超松弛迭代法1、判断方程组一使用超松弛迭代法是否收敛在 matlab 软件中编写程序：w=1.3D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的超松弛迭代矩阵的谱半径为 r=164.0633，大于 1，则超松弛迭代法不收敛，故不可用超松弛迭代法进行迭代求解。2、判断方程组二使用超松弛迭代法是否收敛与方程组一相似，取 w=1.3 求出方程组二的超松弛迭代矩阵的特征值为：
15、0.9902；0.4505 + 0.3101i；0.4505 - 0.3101i；0.1697 + 0.4168i；0.1697 - 0.4168i；0.0452；-0.0972 + 0.1215i；-0.0972 - 0.1215i其谱半径 r=0.9902，小于 1，则方程组二使用超松弛迭代法收敛，故可用超松弛迭代法求解。编写超松弛迭代法的 matlab 程序如下：function x,k=SOR(A,b,w,N,r) x0=zeros(1,length(b); n,n=size(A); k=1; while k=N x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1);
16、for i=2:n x(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i); end if max(abs(x-x0)=r break; end k=k+1; x0=x; end if k=N+1 disp(超过最大迭代次数，求解失败！); end调用超松弛求解线性方程组的程序，取初值 x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，取=10 -5 ，分别取=0.8，0.9，1，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7 ，1.8，1.9，2 时，可得到不同的解：=0.8：则 x =1.0208
17、；-1.0245；0.0049；1.9892；1.0017；-1.0044；0.0011；1.9994，迭代次数 k=10=0.9：则 x =1.0182；-1.0214；0.0043；1.9906；1.0015；-1.0039；0.0009；1.9995迭代次数 k= 604=1： 则 x =1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995迭代次数 k= 570=1.1：则 x =1.0144；-1.0169；0.0034；1.9926；1.0012；-1.0031；0.0007；1.9996迭代次数 k= 538=1.2：则 x =1.0129；-1.0151；0.0030；1.9933；1.0011；-1.0027；0.0007；1.9996迭代次数 k= 510=1.3：则 x =1.0116；-1.0136；0.0027；1.9940；1.0010；-1.0025；0.0006；1.9997迭代次数 k= 484
