三角形“四心”向量形式的充要条件应用(总2页).doc

三角形“四心”向量形式的充要条件应用ABCDG一 知识总结1重心(中线交点)G是ABC的重心证明 作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=，得=，故G是ABC的重心.(反之亦然(证略)为ABC的重心(P是平面上的点).证明 G是ABC的重心=，即由此可得.(反之亦然(证略)【例1】 已知向量，满足条件+=，|=|=|=1，求证 P1P2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五B组第6题)证明 由已知+=-，两边平方得=，同理=，|=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.2垂心(高线交点)ABCDHH是ABC的垂心由,同理，.故H是ABC的垂心.