6.1曲面上曲线 的测 地曲率 曲面上曲线C在其上一点P曲率向量 在 上的投 影称为C在P点的测地曲率 。有 命题1 6 曲面上的测地线 曲面上曲线C 的 在n的投影为 若记 考虑 在 上投影即测地曲率 n 可证命题 2 曲面S上的曲线C ，它在点P 的测地曲率的绝对值等于C在点 P的 切平面上的正投影曲线 的曲率 。 这 是测 地曲率的几何意义 证：曲线C和C*组成的曲面是射影柱面，记为S* S*在P的切平面由下面给 出测 地曲率的一般计 算公式 设 曲面曲线 其中s是自然参数 有 代入有当曲面 上的坐标网为正交网 时， 公式化简为 ： 这个测地曲率的计算公式还是不实用若再令曲线 的切方向和的夹角为,注意到 这 个公式称为 刘维 尔公式。 再求二阶导数有 代入上页公式有命题1 曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件 是 除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法 线。 6.2. 曲面上的测地线 曲面上的一条曲线，如果它的一点处的测地曲率为 零，则称为测地线。 显然曲面上的直线是测地线 显然球面上的大圆是测地线 因为因为 从而有方程 因为 这就是测地线方程由上一节介绍的刘维尔公式也
