1、第七章 稀疏矩阵 单元阵列 结构 .37.1 稀疏矩阵 .37.1.1 sparse 数据类型 .4例 7.1.67.2 单元阵列(cell array) .87.2.1 创建单元阵列 .97.2.2 单元创建者 大括号()的应用 .107.2.3 查看单元阵列的内容 .107.2.4 对单元阵列进行扩展 .117.2.5 删除阵列中的元素 .127.2.6 单元阵列数据的应用 .127.2.7 字符串单元阵列 .127.2.8 单元阵列的重要性 .137.2.9 单元阵列函数总结 .167.3 结构数组 .167.3.2 增加域到结构 .177.3.3 删除结构中的域 .187.3.4 结构
2、数组中数组的应用 .187.3.5 函数 getfield 和函数 setfield.207.3.6 对结构数组应用 size 函数 .207.3.8 struct 函数总结 .21测试 7.1.217.4 总结 .227.4.1 好的编程习惯总结 .227.4.2 MATLAB 函数命令总结 .227.5 练习 .237.1.237.2.237.3.237.4.237.5.247.6.24第七章 稀疏矩阵 单元阵列 结构在本章中我们要学习三种数据类型：稀疏矩阵，单元阵列和结构。稀疏矩阵是矩阵的一种特殊形式，在这个矩阵中只对非零元素分配内存。单元阵列也是一种矩阵，它的每一个元素可以是 MATL
3、AB 任何一种数据类型。它们广泛应用于 MATLAB 用户图象界面（GUI）函数。最后，结构提供了一种在单个变量中存储了不同类型的数据的方法，在这个变量中的每一个数据项目都有一个独立的名字。7.1 稀疏矩阵我们在第二章中已经学过了普通的 MATLAB 数组。当一个普通的数组被声明后，MATLAB 将会为每一个数组元素分配内存。例如函数 a = eye(10)要创建了 100 个元素，按1010 的结构分配，对角线上的元素均为 1，其余的元素为 0。注意这些数组其中的 90 个元素为 0。这个包含有一百个元素的矩阵，只有 10 个元素包含非零值。这是稀疏矩阵或稀疏数组的一个例子。稀疏矩阵是指一个
4、很大的矩阵，且大多数的元素为 0。 a=2*eye(10)a =2 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 2现在假如我们要创建一个 1010 的矩阵，定义如下b =1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0
5、0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 5 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1若 a，b 两矩阵相乘得到的结果为 c = a * bc =2 0 0 0 0 0 0 0 0 00 4 0 0 0 0 0 0 0 00 0 4 0 0 0 0 0 0 00 0 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 2 0
6、 0 00 0 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 2这两个稀疏矩阵相乘需要 1900 次相加和相乘，但是在大多数时侯相加和相乘的结果为0，所以我们做了许多的无用功。这个问题会随着矩阵大小的增大而变得非常的严重。例如，假设我们要产生两个 200200 的稀疏矩阵，如下所示a = 5 * eye(200);b = 3 * eye(200);每一个矩阵有 20000 个元素，其中 19800 个元素是 0。进一步说，对这两个矩阵相乘需要 7980000 次加法和乘法。我们可以看出对大规模稀疏矩阵进行存储和运算（其中大部分为 0）是
7、对内存空间和cpu 资源的极大浪费。不巧的是，在现实中的许多问题都需要稀疏矩阵，我们需要一些有效的方示来解决这个问题。大规模供电系统是现实世界中涉及到稀疏矩阵一个极好的例子。大规模供电系统可以包括上千条或更多的母线，用来产生，传输，分配电能到子电站。如果我们想知道这个系统的电压，电流和功率，我们必须首先知道每一条母线的电压。如果这个系统含有一千个母线，这就要用到含有 1000 个未知数的联立方程组，包括一个方程，也就是说我们要创建含有 1000000 个元素的矩阵。解出这个矩阵，需要上百万次的浮点运算。但是，在这个系统中，一条母线平均只它的三条母线相连，而在这个矩阵中每一行其他的 996 个元
8、素将为 0，所以在这个矩阵的加法和乘法运算中将会产生 0。如果在求解的过程中这些 0 可以忽略，那么这个电力系统的电压和电流计算将变得简单而高效。7.1.1 sparse 数据类型在 MATLAB 中有一个专门的数据类型，用来对稀疏进行运算。sparse 数据类型不同于 doulbe 数据，它在内存中只存储非零元素。实际上，sparse 数据类型只存储每一个非零元素的三个值：元素值，元素的行号和列号。尽管非零元素这三个值必须存储在这内存，但相对于存储稀疏矩阵的所有元素来说要简单高效得多。我们用 1010 的方阵来说明稀疏矩阵的应用。 a = eye(10)a =1 0 0 0 0 0 0 0
9、0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1如果这个矩阵被转化为稀疏矩阵，它的结果是 as = sparse(a)as =(1,1) 1(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 1(5,5) 1(6,6) 1(7,7) 1(8,8) 1(9,9) 1(10,10) 1注意在稀疏矩阵存储的是行列地址
10、和这一点所对应的非零数据值。只要一个矩阵的大部分数都是 0，这种方法用来存储数据就是高效的，但是如果非零元素很多的话，那么用占用更多的空间，因为稀疏矩阵需要存储蓄地址。函数 issparse 通常用作检测一个矩阵是否为稀疏矩阵。如果这个矩阵是稀疏的，那么这个函数将会返回 1。稀疏矩阵的优点可以通过下面的描述体现出来，考虑一个 10001000 的矩阵平均每一行只有 4 个非零元素。如果这个矩阵以全矩阵的形式储存，那么它要战胜 8000000 个字节。从另一方面说，如果它转化为一个稀疏矩阵，那么内存的使用将会迅速下降。7.1.1.1 产生稀疏矩阵MATLAB 可以通过 sparse 函数把一个全
11、矩阵转化为一个稀疏矩阵，也可以用MATLAB 函数 speye，sprand 和 sprandn 直接产生稀疏矩阵，它们对应的全矩阵为eye， rand，和 randn。例如，表达式 a = speye(4)将产生一个 44 的稀疏矩阵。 a = speye(4)a =(1,1) 1(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 1表达式 b = full(a)把稀疏矩阵转化相应的全矩阵。 b = full(a)b =1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 17.1.1.2 稀疏矩阵的运算如果一个矩阵是稀疏的，那么单个元素可以通过简单的赋值语句添加或删除，例如下面的语句产生一个 44 的
12、稀疏矩阵，然后把其他的非零元素加入其中。 a = speye(4)a =(1,1) 1(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 1 a(2,1) = -2a =(1,1) 1(2,1) -2(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 1MATLAB 允许全矩阵与稀疏的混合运算。它们产生的结果可以是全矩阵也可以是稀疏矩阵，这取决于那种结果更高效。更重要的是，任何的适用全矩阵算法同样地也适合稀疏矩阵。表 7.1 列出的是一些普通的稀疏矩阵。表 7.1 普通的 MATLAB 稀疏矩阵函数类别 函数 描述speye 创建一个单位稀疏矩阵sprand 创建一个稀疏矩阵，元素是符合平均分布的随机数创建一个稀疏矩
13、阵sprandn 创建一个稀疏矩阵，元素是普通的随机数sparse 把一个全矩阵转化为一个稀疏矩阵full 把一个稀疏矩阵转化为全矩阵全矩阵和稀疏矩阵的转换函数 find 找出矩阵中非零元素和它对应的上下标nnz 非零元素的个数nonzeros 返回一个向量，其中的元素为矩阵中非零元素spones 用 1 代替矩阵中的非零元素spalloc 一个稀疏矩阵所占的内存空间issparse 如果是稀疏矩阵就返回 1spfun 给矩阵中的非零元素提供函数对稀疏矩阵进行操作的函数spy 用图象显示稀疏矩阵例 7.1用稀疏矩阵解决联立方程组为了解说明稀疏矩阵在 MATLAB 中应用，我们将用全矩阵和稀疏矩
14、阵来解决下面的联立方程组。1.0x1 + 0.0x2 + 1.0x3 + 0.0x4 + 0.0x5 + 2.0x6 + 0.0x7 - 1.0x8 = 3.00.0x1 + 1.0x2 + 0.0x3 + 0.4x4 + 0.0x5 + 0.0x6 + 0.0x7 + 0.0x8 = 2.00.5x1 + 0.0x2 + 2.0x3 + 0.0x4 + 0.0x5 + 0.0x6 - 1.0x7 + 0.0x8 = -1.50.0x1 + 0.0x2 + 0.0x3 + 2.0x4 + 0.0x5 + 1.0x6 + 0.0x7 + 0.0x8 = 1.00.0x1 + 0.0x2 + 1.
15、0x3 + 1.0x4 + 1.0x5 + 0.0x6 + 0.0x7 + 0.0x8 = -2.00.0x1 + 0.0x2 + 0.0x3 + 1.0x4 + 0.0x5 + 1.0x6 + 0.0x7 + 0.0x8 = 1.00.5x1 + 0.0x2 + 0.0x3 + 0.0x4 + 0.0x5 + 0.0x6 + 1.0x7 + 0.0x8 = 1.00.0x1 + 1.0x2 + 0.0x3 + 0.0x4 + 0.0x5 + 0.0x6 + 0.0x7 + 1.0x8 = 1.0答案为了解决这一问题，我们将创建一个方程系数的全矩阵，并用 sparse 函数把他转化为稀疏矩阵。
16、我们用两种方法解这个方程组，比较它们的结果和所需的内存。代码如下：% Script file: simul.m% Purpose:% This program solves a system of 8 linear equations in 8% unknowns (a*x = b), using both full and sparse matrices.% Record of revisions:% Date Programmer Description of change% = = =% 10/14/98 S. J. Chapman Original code% Define varia
17、bles:% a -Coefficients of x (full matrix) % as -Coefficients of x (sparse matrix)% b -Constant coefficients (full matrix)% bs -Constant coefficients (sparse matrix)% x -Solution (full matrix)% xs -Solution (sparse matrix)% Define coefficients of the equation a*x = b for% the full matrix solution.a =
18、 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0 2.0 0.0 -1.0; .0.0 1.0 0.0 0.4 0.0 0.0 0.0 0.0; .0.5 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0; .0.0 0.0 0.0 2.0 0.0 1.0 0.0 0.0; .0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0; .0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 0.0; .0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0; .0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0;b = 3.0 2.0 -1.5 1.0 -2.0 1
19、.0 1.0 1.0;% Define coefficients of the equation a*x = b for% the sparse matrix solution.as = sparse(a);bs = sparse(b);% Solve the system both waysdisp (Full matrix solution:);x = abdisp (Sparse matrix solution:);xs = asbs% Show workspacedisp(Workspace contents after the solutions:)whos运行这个程序，结果如下 s
20、imulFull matrix solution:x =0.50002.0000-0.5000-0.0000-1.50001.00000.7500-1.0000Sparse matrix solution:xs =(1,1) 0.5000(2,1) 2.0000(3,1) -0.5000(5,1) -1.5000(6,1) 1.0000(7,1) 0.7500(8,1) -1.0000Workspace contents after the solutions:Name Size Bytes Classa 8x8 512 double arrayas 8x8 276 double array
21、(sparse)b 8x1 64 double arraybs 8x1 104 double array (sparse)x 8x1 64 double arrayxs 8x1 92 double array (sparse)Grand total is 115 elements using 1112 bytes两种算法得到了相同的答案。注意用稀疏矩阵产生的结果不包含 x4，因为它的值为0。注意 b 的稀疏形式占的内存空间比全矩阵形式还要大。这种情况是因为稀疏矩阵除了元素值之外必须存储它的行号和列号，所以当一个矩阵的大部分元素都是非零元素，用稀疏矩阵将降低运算效率。7.2 单元阵列 (cell
22、 array)单元阵列是 MATLAB 中特殊一种数组，它的元素被称为单元(cells) ，它可以存储其它类型的 MATLAB 数组。例如，一个单元阵列的一个单元可能包含一个实数数组或字符型数组，还可能是复数组(图 7.1 所示) 。在一个编程项目中，一个单元阵列的每一个元素都是一个指针，指向其他的数据结构，而这些数据结构可以是不同的数据类型。单元阵列为选择问题信息提供极好的方示，因为所有信息都聚集在一起，并可以通边一单个名字访问。单元阵列用大括号替代小括号来选择和显示单元的内容。这个不同是由于单元的内容用数据结构代替了内容。假设一单元阵列如图 7.2 所示。元素 a(1，1) 是数据结构 3
23、3 的数字数组。a(1，1)的含义为显示这个单元的内容，它是一个数据结构。cell 1,113 -720 605 1 cell 1,2This is a stringcell 2,13+i4 -5-i103-i4cell 2,2图 7.1 一个单元阵列的一个单元可能包含一个实数数组或字符型数组，还可能是复数组13 -720 605 1 a(1,1) a(1,2)a(2,2)a(2,1)This is a text string.3+i4 -5-i103-i4图 7.2 单元阵列中的每一个元素都是指向其他数据结构的指针，指向的数据结构可能都不相同 a(1,1)ans = 3x3 double相对
24、地，a1,1的含义为显示这个数据结构的内容。 a1,1ans =1 3 -72 0 60 5 1总起来说，标识 a1,1反映的是数据结构 a(1,1)内容，而标识 a(1,1)是一个数据结构。好的编程习惯当你访问一单元阵列时，不要把()与混淆。它们完全不同的运算。7.2.1 创建单元阵列创建单元阵列有两种方法 用赋值语句 用函数 cell 创建最简单的创建单元阵列的方法是直接把数据结构赋值于独立的单元，一次赋一个单元。但用 cell 函数创建将会更加地高效，所以我们用 cell 创建大的单元数组。7.2.1.1 用赋值语句创建单元阵列你可以用赋值语句把值赋于单元阵列的一个单元，一次赋一个单元。
25、这里有两种赋值的方法，即内容索引(content indexing)和单元索引(cell indexing)。内容索引要用到大括号，还有它们的下标，以及单元的内容。例如下面的语句创建了一个 22 的单元阵列，如图 7.2 所示。a1,1 = 1 3 -7; 2 0 6; 0 5 1;a1,2 = This is a text string.;a2,1 = 3+4*i -5; -10*i 3-4*i;a2,2 = ;索引的这种类型定义了包含在一个单元中的数据结构的内容。单元索引把存储于单元中的数据用大括号括起来，单元的下标用普通下标标记法。例如下面的语句将创建一个 22 的单元阵列，如图 7.2
26、 所示。a(1,1) =1 3 -7; 2 0 6;0 5 1;a(1,2) = This is a text string.;a(2,1) = 3+4*i -5; -10*i 3-4*i;a(2,2) = ;索引的这种类型创建了包含有指定值的一个数据结构，并把这个数据结构赋于一个单元。这两种形式是完全等价的，你可以在你的程序任选其一。常见编程错误不要创建一个与已存在的数字数组重名的元阵列。如果得名了，MATLAB 会认为你把单元阵列的内容赋值给一个普通的数组，这将会产生一个错误信息。在创建单元阵列之前，确保同名的数字数字数组已经被删除。7.2.1.2 用 cell 函数创建单元阵列函数 ce
27、ll 允许用户创建空单元阵列，并指定阵列的大小。例如，下面的语句创建一个22 的空单元阵列。a = cell(2, 2)一旦单元阵列被创立，你就可以用赋值语句对单元阵列进行赋值。7.2.2 单元创建者大括号()的应用如果在单个大括号中列出所有单元的内容，那么就定义了许多的单元，在一行中的独立单元用逗号分开，行与行之间用分号隔开。例如下面的语句创建一个 23 单元阵列。b = 1 2, 17, 2;4; 3-4*i, Hello, eye(3)7.2.3 查看单元阵列的内容MATLAB 可以把单元阵列每一个元素的数据结构缩合在一行中显示出来。如果全部的数据结构没有被显示出来，那么显示就是一个总结
28、。例如，单元阵列 a 和 b 显示如下 aa = 3x3 double 1x22 char2x2 double bb = 1x2 double 17 2x1 double3.0000- 4.0000i Hello 3x3 double注意 MATLAB 显示的只是数据结构，包括中括号和省略号，而不包含数据结构的内容。如果你想要知道看到单元阵列的所有内容，要用到 celldisp 函数。这个函数显示的是每一个单元中的数据结构的内容。 celldisp(a)a1,1 =1 3 -72 0 60 5 1a2,1 =3.0000 + 4.0000i -5.0000 0 -10.0000i 3.0000 - 4.0000ia1,2 =This is a text string.a2,2 =如果要用高质量的图象显示数据结构的内容，要用到函数 cellplot。例如，函数cellplot(b)产生了一个图象，如图 7.3 所示。
