第八章分离变数法分离变数法在数学物理方程中的地位: 分离变数法是求解数学物理定解问题的基 本方法,是贯穿数学物理方程内容的主要 线索,本章以分离变数法为主线,结合傅 里叶级数法研究求解一维自由波动方程、 一维无源输运方程、直角坐标系中二维无 源稳定场方程的方法。 引言8.1分离变数法详析 一、分离变数法介绍 长为 、两端固定的均匀弦的自由微小横 振动的定解问题 , ,即令: 代入定解问题中试解 两边同除于 把偏微分方程转化为易以求解的常微分方程 ,从而找出满足边界条件与初始条件的解。 思路:为常数 又由边界条件: T( t) : X( x) :X( x) : T( t) : 讨论: (1) 考虑边界条件得: 不存满足边界条件的、非零的可分离变数形 式的特解 (2) 考虑边界条件得: 不存满足边界条件的、非零的可分离变数形 式的特解 (3) 由 要有非零解,必须:满足给定边界条件的可分离变数形式的特解为: 由于泛定方程是线性齐次方程,因此这些 特解的线性叠加,仍然是泛定方程满足给 定的边界条件的解。 一般解 取决于初始状态的确定:综上,长为 、两端固定、均匀弦的自 由微小横振动问题的解: