1、课程名称（中文）：矩阵论 课程名称（英文）： Matrix Theory一）课程目的和任务：本课程是泛应用数学包括计算数学、运筹与控制特别是组合与图论、应用数学等专业的一门共同的基础课，主要讲授矩阵的分析性质和组合性质。课程的目的和任务是让学生掌握矩阵论的基本知识和思想方法、了解该领域的某些最新成果、通过利用数学其他分支的工具来解决矩阵问题以及用矩阵解决其他领域的问题加深对数学的认识并且增加数学修养。教材内容强调以下几方面的标准：1）重要，2）优雅，3）巧妙，4）有趣。矩阵论在科学与工程计算、控制论、系统论、信息论、信号处理、计算机科学、经济学、组合与图论、运筹学、统计学、概率论、微分方程、数
2、学物理、动力系统等领域都有应用。矩阵论一方面是有用的工具，另一方面也是目前一个活跃的研究领域。二）预备知识：线性代数，数学分析三）教材及参考书目：教材：Matrix Theory by X. Zhan, 讲义，已投稿到出版社参考书目：1）矩阵论 ，詹兴致著，高等教育出版社，2008 年2）Matrix Analysis, R. Bhatia著, GTM 169, Springer, New York, 1997四）讲授大纲（中英文）第一章 预备知识 1）特殊矩阵类 2）特征多项式3）谱映射定理4）特征值和对角元5）范数6）矩阵乘方序列的收敛性7）矩阵分解8）数值范围9）多项式的伙伴矩阵10）广
3、义逆11）Schur补12）拓扑思想的应用13）Grobner 基14）线性不等式组15）正交投影和约化子空间第二章 张量积和复合矩阵1）定义和基本性质2）线性矩阵方程3）Frobenius-Konig定理4）复合矩阵第三章 Hermite矩阵和优超1）Hermite矩阵的特征值2）优超与双随机矩阵3）关于半正定矩阵的不等式第四章 奇异值和酉不变范数1）奇异值2）对称规度函数3）酉不变范数4）矩阵的笛卡尔分解 第五章 矩阵扰动1）特征值2）极分解3）带状部分的范数估计第六章 非负矩阵1）Perron-Frobenius理论2）矩阵与有向图3）本原和非本原矩阵4）特殊的非负矩阵5）关于正矩阵的两
4、个定理第七章 部分矩阵的填充1）Friedland关于对角填充的定理2）Farahat-Ledermann关于边线填充的定理3）Parrott保范填充定理4）正定填充第八章 符号模式1）符号非奇异模式2）特征值3）符号半稳定模式4）允许正逆的模式第九章 更多的论题1）实矩阵通过复矩阵相似2）带状矩阵的逆3）交换子的范数界4）对角占优定理的逆定理5）数值范围的形状6）一个求逆算法7）相似标准形8） Jordan标准形的极端稀疏性第十章 矩阵的应用1）图论2）有限几何3）数论4）代数5）多项式Chapter 1 Preliminaries1) Classes of Special Matrices
5、2) The Characteristic Polynomial3) The Spectral Mapping Theorem4) Eigenvalues and Diagonal Entries5) Norms6) Convergence of the Power Sequence of a Matrix7) Matrix Decompositions8) Numerical Range9) The Companion Matrix of a Polynomial10) Generalized Inverses11) Schur Complements12) Applications of
6、Topological Ideas13) Grobner Bases14) Systems of Linear Inequalities15) Orthogonal Projections and Reducing SubspacesChapter 2 Tensor Products and Compound Matrices1) Definitions and Basic Properties2) Linear Matrix Equations3) Frobenius-Konig Theorem4) Compound MatricesChapter 3 Hermitian Matrices
7、and Majorization1) Eigenvalues of Hermitian Matrices2) Majorization and Doubly Stochastic Matrices3) Inequalities for Positive Semidefinite MatricesChapter 4 Singular Values and Unitarily Invariant Norms1) Singular Values2) Symmetric Gauge Functions3) Unitarily Invariant Norms4) The Cartesian Decomp
8、osition of Matrices Chapter 5 Perturbation of Matrices1) Eigenvalues2) The Polar Decomposition3) Norm Estimation of Band PartsChapter 6 Nonnegative Matrices1) Perron-Frobenius Theory2) Matrices and Digraphs3) Primitive and Imprimitive Matrices4) Special Classes of Nonnegative Matrices5) Two Theorems
9、 about Positive MatricesChapter 7 Completion of Partial Matrices1) Friedlands Theorem about Diagonal Completions2) Farahat-Ledermanns Theorem about Borderline Completions3) Parrotts Theorem about Norm-Preserving Completions4) Positive Definite CompletionsChapter 8 Sign Patterns1) Sign-Nonsingular Pa
10、tterns2) Eigenvalues3) Sign Semi-Stable Patterns4) Sign patterns Allowing a Positive InverseChapter 9 Miscellaneous Topics1) Similarity of Real Matrices via Complex Matrices2) Inverses of Band Matrices3) Norm Bounds for Commutators4) The Converse of the Diagonal Dominance Theorem5) The Shape of the Numerical Range6) An Inversion Algorithm7) Canonical Forms for Similarity8) Extremal Sparsity of the Jordan Canonical FormChapter 10 Applications of Matrices1) Graph Theory2) Finite Geometry3) Number Theory4) Algebra5) Polynomials五）教学总学时：4 学时/周 19 周 = 76 学时
