线性代数题目.doc

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1、第 1 页(共 3 页)线性代数模拟试卷 B 及答案一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)(1)若 A 为 4 阶矩阵,则 =( )A(A) 4 (B) (C) (D)434A3A(2)设 A,B 为 n 阶方阵, 且 ,则( )0B(A) (B) 0(C) (D)22() 0或(3)A,B,C 均为 n 阶方阵,则下列命题正确的是( )(A) (B) ,AB则(C) (D) C若 则(4) 成立的充要条件是( )22()ABB(A) (B) (C) (D)AEBEAB(5)线性方程组 有唯一解,则 为( )(1)2kxyabk(A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于

2、055(6)若 A 为可逆阵,则 =( )1()A(A) (B) (C) (D)1A1A(7)含有 4 个未知数的齐次方程组 ,如果 ,则它的每个0X()R基础解系中解向量的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3第 2 页(共 3 页)(8)设 为 矩阵,齐次方程组 仅有零解的充要条件是 的Amn0AXA( )(A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关(C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关(9)已知矩阵 A= ,下列向量是 A 的特征向量的是( )31(A) (B) (C) (D) 102121(10)二次型 为正定212313132(,)44fxxxx二次型,

3、则 的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)二、计算题(第 1、2 小题每题 5 分,第 3、4 小题每题 10 分,共 30 分)1、计算行列式 。 (5 分)4xaD2、设 ,求 的逆 。 (5 分) 321A=5A-1第 3 页(共 3 页)3、求矩阵方程 ,其中 。 (10 分)AXB011,2053AB4、求向量组 ,1=-43T, , 的秩,并求2-35T078T4=5-327T出它的一个最大无关组。 (10 分)第 4 页(共 3 页)三、证明题(第 1 小题 9 分,第 2 小题 6 分,共 15 分)1、已知向量组 线性无关,23,,试证向量组 线性无关。 (9211

4、23,123,分)2、设 A、B 分别为 m,n 阶可逆矩阵,证明:第 5 页(共 3 页)可逆,且 。 (6 分)0AHB110BHA四、综合题(第 1 小题 15 分,第 2 小题 10 分,共 25 分)1、 取何值时,非齐次线性方程组 , (1)有唯一解;1232x(2)无解;(3)有无穷多个解?并在有无穷多个解时求其通解。 (15分)第 6 页(共 3 页)2、已知 A 为 n 阶方阵,且满足 230AE(1)证明: 可逆,并求 。 (5 分)2E1(2)若 ,求 的值。 (5 分)146第 1 页(共 3 页)线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准一、选择题(30 分)每题 3 分,

5、共 10 题,共 30 分(1) B (2) D (3 ) C (4)A (5 ) B(6) C (7) D (8) A (9) D (10)A二、计算题(30 分)第 1、2 小题每题 5 分,第 3、4 小题每题 10 分,共 30 分。1、 = =4xa0xaax300xaax= 3()a或以其它方式计算视情况酌情给分,结果正确得 5 分。2、对 作初等行变换,当 变为 时, 则变为 ,(,)AEAE1A4 分1723103216(,)501(,)2E 则 . 5 分17236102A也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆,视情况都可酌情给分。3、由 ,得 ,求 ,我们同样可以用上面题目的方

6、AXB()AEXB第 2 页(共 3 页)法,对 进行初等变换,当 变为 时, 则变为,AEBAEB,1()X.5 分01101, 21533= .8 分10321,()EAB则, = .101()X0分4、作矩阵 经过初等行变换可化为行12341250378A最简形矩阵 ,得 ,即向量组 的秩为0512()2RA1234,2,.6 分可取 为向量组的一个最大无关组 .10 分12,由题意可知向量组中的任何两个(因对应分量不成比例)都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题(15 分)第 1 小题 9 分,第 2 小题 6 分,共 15 分。1、证明:设有 使 ,.213,1230分第 3 页(

7、共 3 页)即 , .412123123()()0分亦即 ,.612312323()()分因 线性无关,故有 ,8 分123,1230故方程组只有零解 ,所以向量组 线性无关。.9 分.1230123,2、证明: .410mmnnEABH 分故 可逆且 .6 分110A四、综合题(25 分)第 1 小题 15 分,第 2 小题 10 分,共 25 分。1、计算线性方程组的系数行列式.6 分22101(1)A当 ,方程组有唯一解,即(1) ,方程组有唯一解;.8 分2当 且 时(2)当 ,方程组的增广矩阵为时,11024B则 ,方程组无解;10 分(),()RA第 4 页(共 3 页)(3)当 ,方程组的增广矩阵为1时, ,.12 分10B()1RAB方程组有无穷多个解,可得通解为 123(,)xx可 任 意 取 值即: .15 分1221230,()xccR2、 (1)证明:由 ,得 ,则.1 分2AE()3AE由 A 为 n 阶方阵, ,.3 分20n, 可逆,由上可得: ,0(2)3E.5 分123E(2)由 ,可得 ,. .1 分A2AE则 ,所以 ,由 ,. 3 分246461A得 .5 分22nnE

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