近世代数 第三章 环与域 4 理想、商环 Date一、理想的定义与判别 定义1 设 为环, 为 的非空子集. 满 足: 则 称 的一个理想. 如果 为 由定义 可知, 理想一定是子环. 与 本身都是 理想称为 平凡理想（零理想与单 位理想）. 的理想.这 两个 吸收律 子群 Date的不等于它自身的理想(如果有的话) 的真理想. 除环只有零理想与单位理想. 称为 Date例 1 试 求 的所有理想. 的全部子群为 ： 为 的理想. 的全部理想为 解 由此知, Date二、理想的运算 定义 2 设 为环, 为 的理想. 分别 称为 理想 的和与交. 集合 定理 1 环 的两个理想 的和 与交 都是 的理想. Date证明 (1) 是 的理想. （2） 是 的理想. Date定理 2 环 的任意有限多个理想的和 (因为 ). 还 是理想. 的任意多个理想的交还是理想. 设 为环, .令是 的所有包含 的理想所组成的集合 环 Date定义 4 设 为环, , 称环 中所有 的理想的交为 由 生成的主理想, ,即 包含 记 作 是 中包含 的最小理想. Date定理 3 设 为 有单 位元的交
