1、 数学的思想和方法在初中数学的应用非常广泛，现就配方法、换元法、待定系数法在初中数学中的应用进行简单说明。 一、配方法在数学中的应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法” 1、配方法可以用于比较大小例 1若代数式 ， ，则 的值21078Mab251NabMN（ ）一定是负数 一定是正数 一定不是负数一定不是正数解：（作差法） 221078(51)MNabab2210785ab故选99432()30说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.2、配方法可以用于因式分解例 2分解因式
2、： 4221xa解： 421xa2xa22x（ ） （ ） 2（ ） （ ）2(1)()x说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式3、配方法可以用于求待定字母的值例 3若实数 满足 ，则 的值是（ xy， 2450yx32xy） 13232解：对已知等式配方，得 ， 10xy（ ） （ ） 21xy， 故选32xy21332（ ）说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值4、配方法可以用于求最值例 4多项式 的最小值是（ ）21x1 54234解： 故选21x23x说明：此例是“配方法”在
3、求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，在教学时一定要让学生掌握好2、换元法在数学中的应用换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.1.换元法可以分解因式例 1.分解因式: .1)(2)(nmn解:设 ,则ym原式= 1)(2= y= 32= )1(y= .nm说明:运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结
4、构简化,进而便于分解因式.2.换元法可以解分式方程例 2.解方程： ；0272xx解: 原方程可化为:. 02)1(72)1( xx设 ,则方程化为:y. 0672解方程,得.23,1y当 时，.x解得, .21当 时,23y.1x解得, 或 .2x经检验,知 , , , 都是原方程的12113x24解.所以,原方程的解为 , , , .1x2x23x4说明:运用换元法解分式方程,主要有三种情况.一是原方程可化为关于某一个分式的二次方程(如，本例题),这时,只须设这一分式为辅助元即可；二是原方程中含有未知数的几个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程： ） ，这时，只须设其中一个分式为2
5、432x辅助元即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例（如，解方程） ，这时，只须设二次项系数的绝对值最小的多21122xx项式为辅助元即可.3.换元法可以解高次方程例 3.解方程: .3)4()2(1xx解:原方程可化为:.)3()4(xx即 .6522 设 ,则方程化为:yx5.3)1(y解得, .2当 时,2y.5x解方程,得.213x当 时,y.52x,0方程 无实数根 .因此,原方程的根为 .2135,213521xx说明:解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.4.换元法可以解方程组例 4.解方程组:
6、.32,18yx解:设 ,则原方程组可化为:vux,3.172v)2(1由(2)得, . (3)vu3将(3)代入(1),得.17)3(2v解得, ( 不能为负,舍去 ).4,22y .u得 .12,43yx解得, .,9经检验,知 是原方程组的解.1yx所以,原方程组的解为 .19yx说明:妙用换元法,将无理方程组化为有理方程组,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.5 换元法可以求值例 5.计算: )205131)(20631( .解:设 ,则x21原式= )2061()061)(x= 2 x= .说明:在计算求值时,常妙用换元法,把一个代数式用一个新元进行代换.以新元参与有关运算
7、,大大简化了计算过程.3、待定系数法在数学中的应用待定系数法是对所给出的数学问题，根据已知条件和要求先设出问题的关系式（含待定的字母系数） ，然后利用已知条件列出以待定的字母系数为未知数的方程（组） ，再解方程（组）求出待定的字母系数，使问题获得解决的一种数学方法。1、待定系数法可以求函数解析式例 1.已知一次函数过点（3,5）和（-4，-9） ，求这个一次函数的解析式。分析：一次函数的解析式为 y=kx+b 关键就是求出 k,b 的值。解：设一次函数的解析式为 y=kx+b 因为图像过点（3,5）和（-4，- 9）35421kbx解 得.所 以 ， 这 个 一 次 函 数 的 解 析 式 为
8、 21yx例2：二次函数的图象经过 三点，求这个函数的(,5),7)(0,ABC解析式分析：利用待定系数法求解.先设出二次函数的一般形式，由已知建立方程(组)，可求其待定的系数。20yaxbc解：设这个函数的解析式为 2(0)yaxbc依题意得： 21574999.abcCcyx解 得这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 为2、待定系数法可以因式分解待定系数法也是因式分解的一种重要方法,用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等.根据多项式恒成立的条件，对应系数相等建立方程（组） ，解
9、出方程（组）从而确定待定系数，使得问题得到解决。例 3.如果多项式 能分解成两个一次因式2(5)1xa的积( b,c 为整数)，求 a 的值。,)xbc分析：由待定系数法得到 a,b,c 的方程，通过消元，分解因式解出a,b,c 的值。例4： 221387.xyxy因 式 分 解分析：观察多项式中各项系数，确定因式的部分系数，设出不确定的系数，然后根据多项式恒等的条件列出方程组，解出方程组确定待定系数，从而达到因式分解的目的。22(5)1()1()()525()6),515164xaxbcbcbcbcborcbc解 ： 设 得 ：为 整 数5().a2222221387=2)() =()(18
10、7732)(7).xyxyxyabababxyxyxy解 ： 设 （展 开 得 ： 解 得 （3、待定系数法可以确定方程或解方程待定系数也是解方程和确定方程的一种重要方法，在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化.例 5：已知一元二次方程的两根为 3 和 5，求二次项系数为 2 的一元二次方程.分析：可设出该二元一次方程 然后根据两根列出方20xbc程组，解出方程组求出待定系数. 2235180543-430.bcx解 ： 设 该 二 元 一 次 方 程 为 ，该 方 程 的 两 根 为 -和 ， ，解 得所 求 的 一 元 二 次 方 程 为待定系数法是中学数学解题的一种重要数学思想方法，广泛运用于初中数学和高中数学解题中。学生在用待定系数法解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，列出以含有待定系数为未知数的方程（组） ，这是待定系数法解题的关键。解出方程（组） ，确定待定系数，使得问题得于解决。适当的应用数学方法解题会给学生学习带来事半功倍的效果，也需要教师在教学过程中多加以引导和训练，以上只是我在教学过程中的一些认识，如果有不妥之处恳请专家老师提出宝贵意见，以便我加以改进，更有效的促进教学。
