1、-218-第十八章 动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称S Stx)(J是对应在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。J)(
2、tJJ通俗地说，泛函就是“函数的函数” 。例如对于 平面上过定点 和 的每一条光滑曲线 ，绕xy,1yA),(2yB)(xy轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 的泛函 。由微积分知识不x x)(难写出dJx)()(2)(12（1）容许函数集可表示为)( ,)(,)(| 2121 yxyxCyxS （2）最简单的一类泛函表为21),()(tdtFJ（3）被积函数 包含自变量 ，未知函数 及导数 。 （1）式是最简泛函。Ftx1.1.2 泛函的极值泛函 在 取得极小值是指，对于任意一个与 接近的)(txJS0 )(0tx，都有 。所谓接近，可以用距离 来度St)( )(0tJ ,d量，而距离定
3、义为 |)(|,)(|max)(, 00021 txttdt 泛函的极大值可以类似地定义。 称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为)(tx0t)(tx-219-也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作)()(00txJtxJ如果 可以表为J ,rtL其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则 称为泛函在 的变分，记作LxrL)(0tx。用变动的 代替 ，就有 。)(0t)(t)(0tx)(txJ泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：0tttJ（4）这是因为当变分存在
4、时，增量),(),()()( xtrxtLtxtx 根据 和 的性质有Lr,0)(lim)(li00 xtrt所以 )(li)(0xJJxJ,),(,li0 LrL 1.1.4 极值与变分利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：若 在 达到极值（极大或极小） ，则)(txJ0t0)(txJ（5）这是因为对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极0值。根据函数极值的必要条件知 0)(0xJ于是由（4）式直接得到（5）式。1.1.5. 变分法的基本引理引理 ， ， ，有,)(21xC,)(21C0)(21x，210d则 。, ,0)( x1.2 无约束条件的泛函极值求泛函ft
5、 dtxtFJ0)(,-220-（6）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 ，使给定的二阶连续可微)(tx函数 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线） ，记为 。F )(*tx1.2.1 端点固定的情况设容许曲线 满足边界条件)(tx， 0xffxt)(（7）且二次可微。首先计算（6）式的变分：0)(txtJ ft dttxtF0 0)(, ft xx0 )()(（8）对上式右端第二项做分布积分，并利用 ，有(0ftt，ff txtx dFdF00 ),),(再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有ftxxttJ0因为 的任意性，及 ，所以由基本引理得到著
6、名的欧拉方程x)(f0xxFdt（9）它是这类最简泛函取极值的必要条件。（9）式又可记作0xFxtx（10）通常这是 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件)(t确定。1.2.2 最简泛函的几种特殊情形(i) 不依赖于 ，即x),(xt这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它0xF 0F)(tx一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) 不依赖 ，即 ),(t欧拉方程为-221-0),(xtFd将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到1,c ),(1ctx可能的极值曲线族 dtx1,(iii) 只依赖于 ，即F)(F这时 ，欧拉方程
7、为0,0xxtx由此可设 或 ，如果 ，则得到含有两个参数的直线族 。x 21ctx另外若 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数x的直线族 ，它包含于上面含有两个参数的直线族 中，于是，cckt 21tc在 情况下，极值曲线必然是直线族。)(F（iv） 只依赖于 和 ，即x),(xF这时有 ，故欧拉方程为0xt 0xx此方程具有首次积分为 1cF事实上，注意到 不依赖于 ，于是有t。0)()( xxxxxx FdtdtFdt 例 1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提
8、法是这样的：设 和 是铅AB直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 和 的平面曲线中，求一曲线，当AB质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 滑行至 时，使所需时间最短。解 将 点取为坐标原点， 轴水平向右， 轴垂直向下， 点为 。Axy),(2yx根据能量守恒定律，质点在曲线 上任一点处的速度 满足（ 为弧长）)(ydtsmgdts21将 代入上式得xyds)(2xgyt2于是质点滑行时间应表为 的泛函)(dJx2021端点条件为-222-2)(,0)(yxy最速降线满足欧拉方程，因为F1,不含自变量 ，所以方程（10）可写作x0yy等价于 )(yFdx作一次积分得12c令 则方程化为
9、,2ctgy)os(2sin1112 y又因 dcctgdydx )s1(2oi1积分之，得 21)sin(x由边界条件 ，可知 ，故得0)(y02c).cos1(2iy这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数 可利用另一边界条件 来确定。1c2(yx）例 2 最小旋转面问题 dxyxxyJ )(1)()(212,| 21yCS解 因 不包含 ，故有首次积分 2F12 cyyy-223-化简得 21yc令 ，代入上式， shty chttsc121由于 dttdx1积分之，得 2c消去 ，就得到 。t1xhy这是悬链线方程。1.2.3 最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。（
10、）含多个函数的泛函使泛函 21),()(,xdxzyFzxyJ取极值且满足固定边界条件 .(, 2121 的极值曲线 必满足欧拉方程组)(xz0zzyyFdx（ii）含高阶导数的泛函使泛函21)“,()(xdxyyJ取极值且满足固定边界条件, 1x212 )(, y，）（的极值曲线 必满足微分方程)(y0“2 yFdxF（iii ） 含多元函数的泛函设 ，使泛函Dcyxz),(),(2yxdzJ),(取极值且在区域 的边界线 上取已知值的极值函数 必满足方程l ),(yxz0yxzzzFF上式称为奥式方程。-224-1.2.4 端点变动的情况（横截条件）设容许曲线 在 固定，在另一端点 时不固
11、定，是沿着给定的曲线)(tx0ft上变动。于是端点条件表示为)(tx)(0tx这里 是变动的，不妨用参数形式表示为tffdt寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有0),(00 dtxxtFJfftt fttxtxxdfff 0)(（11）再对（11）式做如下分析：（i）对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分ft)(为零；（ii）为考察（11）式的第二、第三项，建立 与 之间的关系，因为fdtftx)()()( fffff txdtx 对 求导并令 得0ftff即ffft dtxxf )(（12）把（12）代入（11）并利用 的任意性，得fd0
12、)(ftxF（13）（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（i）当 是垂直横轴的直线时， 固定， 自由，并称 为自由)(txft)(ftx)(ftx端点。此时（11）式中 及 的任意性，便得自由端点的横截条件0fdftx0ftF（14）（ii）当 是平行横轴的直线时， 自由， 固定，并称 为平动)(txf)(ftx)(ftx端点。此时 ， （13）式的横截条件变为00ftx-225-（15）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.3 有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形
13、式是对动态系统)(,)(tuxtf（16）寻求最优性能指标（目标函数）ftff dttxFttuJ0)(,)(,)(（17）其中 是控制策略， 是轨线， 固定， 及 自由， ，)(tutxtftf nRtx)(（不受限，充满 空间） ， 连续可微。mRmRf,下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 和最优轨线 的必要条件。)(*tu*t采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑ft Tff dtxutfxFxtuxJ0 ),()(,),(1 （18）的无条件极值，首先定义（16）式和（17）式的哈密顿（Hamilton）函数为),(),(),( tfuttHT（19）将其代入（18）式
14、，得到泛函ft Tff dtxuHxtuxJ0 ),()(,),(1 （20）下面先对其求变分)()(,(1 ffff txtdtJ 0)()(,0 dtxuxHTdtff ffff tTftTftTftTf uxtHd,)()()()Tuxtf )(0 )(),()( fff txTfttTf tFd fff tTtfTt uTx dtxxdH00 )()( 注意到 ， ，因而)(fttf ffft ttf )(fff txTfttTfdJ ),(1 -226- ft uTTxT dtHxH0 )()() 再令 ，由 的任意性，便得1J,utdff（i） 必满足正则方程：*,x 状态方程 )
15、,(t 协态方程 。x（ii）哈密顿函数 作为 的函数，也必满足,*utH0并由此方程求得 。*u（iii ）求 时，必利用边界条件,x ， （用于确定 ）0)(t*x ， （用于确定 ）)(ftxf ， （确定 ）ff ttuH,ft1.4 最大（小）值原理如果受控系统，),(xtf0(xt其控制策略 的全体构成有界集 ，求 ，使性能指标)(tuUtu)ftff dFtJ0,达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果 ， 和 都是连续可微的，),(xt)(,fftx),(uxt那么最优控制策略 和相应的最优轨线 由下列的必要条件决定：)(*tu*（i）最优轨线 ，协态向量 由下列的必要条件决定
16、：xt， ，,tfdUu)(.xHt（ii）哈密顿函数),(),(),( * uxtfuxtFuT作为 的函数，最优策略 必须使)(tu,ma,txtUu或使(最小值原理),(in),( *xtHtH（iii ）满足相应的边界条件 若两端点固定，则正则方程的边界条件为， 。0)(xfft)(-227- 若始端固定，终端 也固定，而 自由，则正则方程的边界条件为ft)(ftx， 。0)(x,)()(tf 若始端固定，终端 都自由，则正则方程的边界条件为,ft， ，0 ),)(fftxtf。0(,(),( ftfff xtuxtHf2 生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方
17、面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。2.1 问题分析与假设（i）设备的转卖价是时间 的函数，记为 。 的大小与设备的磨损程度和t)(tx保养费的多少密切相关。记初始转卖价 。0（ii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。 时刻设备的磨损程度可以t用 时刻转卖价的损失值来刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为 。t )(tm（iii ）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提
18、高转卖价。如果 是单位时间的u保养费， 是 时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价） ，那么单位)(tg时间的保养效益为 。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时)(tu间产值时，保养失去了意义） ，只能在有界函数集中选取，记有界函数集为 ，则W。Wtu)(（iv）设单位时间的产值与转卖价的比值记为 ，则 表示在 时刻单位时间p)(txt的产值，即 时刻的生产率。t（v）转卖价 及单位时间的保养费 都是时间 的连续可微函数。为了统一)(tx)(tu标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价 的贴现值计算，如果)(t它的贴现因子为 （经过单位时间的单位费用贴现） ，那么由1)()(txtd解得)(11(tet令 ，便得 时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为 ，所以设备在 时刻转卖01t tet价 的贴现为 。仿此计算， 的贴现为 ，单位时间产值的贴现)(xtx)tu)(为 。tep（vi）欲确定的转卖时间 和转卖价 都是自由的。ft)(fx2.2 模型构造
