自动控制原理习题及其解答.DOC

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资源描述

1、自动控制原理习题及其解答第一章(略)第二章例 2-1 弹簧,阻尼器串并联系统如图 2-1 示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。解:(1) 设输入为 yr,输出为 y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2) 列写原始方程式,由于无质量按受力平衡方程,各处任何时刻,均满足 ,0F则对于 A 点有021KfF其中,F f 为阻尼摩擦力,F K1,F K2 为弹性恢复力。(3) 写中间变量关系式0210)(yKFYdtfr(4) 消中间变量得021yKdtftfrr (5) 化标准形rrytTyt0其中: 为时间常数,单位秒。215KT为传递函数,无量纲。21例 2-2 已知单摆系统的运动如图 2

2、-2 示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角 ,摆球质量为 m。(2)由牛顿定律写原始方程。hmgdtlsin)(其中,l 为摆长,l 为运动弧长,h 为空气阻力。(3)写中间变量关系式)(dtl式中, 为空气阻力系数 为运动线速度。(4)消中间变量得运动方程式图 2-2 单摆运动 (2-1)0sin2mgdtaltl此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化由前可知,在 0 的附近,非线性函数 sin ,故代入式(2-1)可得线性化方程为02mgdtaltl例 2-3 已知机械旋转系统如图 2-3 所示,试列出系统运动方程。解:(1)设输入量作

3、用力矩 Mf,输出为旋转角速度 。(2)列写运动方程式ffdtJ式中, f为阻尼力矩,其大小与转速成正比。(3)整理成标准形为fMfdtJ此为一阶线性微分方程,若输出变量改为 ,则由于dt代入方程得二阶线性微分方程式fMtfdtJ2例 2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图 2-4 所示。图 2-3 机械旋转系统 图 2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒,这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图 2-65 所示平面内运动。控制力 u 作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心 A。试求该系统的运动方程式。解:(1) 设输入为作

4、用力 u,输出为摆角 。(2) 写原始方程式,设摆杆重心 A 的坐标为(X A,y A)于是XAX l sinXy = lcos画出系统隔离体受力图如图 25 所示。摆杆围绕重心 A 点转动方程为:(22)cossin2HlVldtJ式中,J 为摆杆围绕重心 A 的转动惯量。摆杆重心 A 沿 X 轴方向运动方程为: dtxmA2即 (23)Hlxt)sin(2摆杆重心 A 沿 y 轴方向运动方程为:图 2-5 隔离体受力图 mgVdtyA2即 lt)cos(2小车沿 x 轴方向运动方程为:HudtxM2方程(22) ,方程(23)为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有 sin 和 cos 项,所

5、以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当 很小时,可对方程组线性化,由 sin ,同理可得到 cos1 则方程式(22)式(2 3)可用线性化方程表示为:HudtxMmgVtdltJ22220用 的算子符号将以上方程组写成代数形式,消掉中间变量 V、H、X 得2dtSugmMsJmlMl )()(2将微分算子还原后得dtdtll )()(2此为二阶线性化偏量微分方程。例 2-5 RC 无源网络电路图如图 26 所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数 Uc(s)/Ur(s)。解:在线性电路的计算中,引入了复阻抗的概念,则电压、电流、复阻抗之间的关系,满足广义的欧姆定律。即:

6、图 2-6 RC 无源网络 )(sZIU如果二端元件是电阻 R、电容 C 或电感 L,则复阻抗 Z(s)分别是 R、1/C s 或 L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式:sCSIVRUI sSISIccccr2221121)()()()()()(2) 将以上四式用方框图表示,并相互连接即得 RC 网络结构图,见图 26(a) 。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图 26(c) 、( d)、( e)。(4) 用梅逊公式直接由图 26(b) 写出传递函数 Uc(s)/Ur(s) 。KG独立回路有三个: SCRL111图 2-6 RC 无源网络结构图 (a)(b)(c)(d)SCRL2221

7、1S1213回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则211SCR由上式可写出特征式为:21122121321)( SCRSSLL 通向前路只有一条 21211 SCRSCRG由于 G1 与所有回路 L1,L 2, L3 都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为 1=1代入梅逊公式得传递函数 1)(1 12221 2211 sCRsCRsG例 2-6 有源网络如图 27 所示,试用复阻抗法求网络传递函数,并根据求得的结果,直接用于图 28 所示 PI 调节器,写出传递函数。解:图 2-7 中 Zi 和 Zf 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗,假设A 点为虚地,即 U

8、A0,运算放大器输入阻抗很大,可略去输入电流,于是:I 1 = I2则有: )()(21sZIsUfcii故传递函数为图 2-8 PI 调节器 图 2-7 有源网络 (24))()(sZsUGific对于由运算放大器构成的调节器,式(24)可看作计算传递函数的一般公式,对于图2-8 所示 PI 调节器,有 1)(RsZiCSf 2故 SRsZsGif 1212)()( 例 2-7 求下列微分方程的时域解 x(t) 。已知 。3)0(,)(x0632dtt解:对方程两端取拉氏变换为:0)(63)()(0)(2 sXxsSXxSsX代入初始条件得到)(63(2s解出 X(s)为:222 )15()

9、.(563)( SSs反变换得时域解为:)2sin(52)(.1tetxt例 2-8 已知系统结构图如图 2-9 所示,试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。图 2-10 系统结构图的简化 图 2-9 系统结构图 解:(1)首先将含有 G2 的前向通路上的分支点前移,移到下面的回环之外。如图2-10(a )所示。(2)将反馈环和并连部分用代数方法化简,得图 2-10(b) 。(3)最后将两个方框串联相乘得图 2-10(c) 。例 2-9 已知系统结构图如图 2-11 所示,试用化简法求传递函数 C(s)/R(s)。解:(1)将两条前馈通路分开,改画成图 2-12(a)的形式。(2)将小前馈

10、并联支路相加,得图 2-12(b) 。(3)先用串联公式,再用并联公式 将支路化简为图 2-12(c) 。例 2-10 已知机械系统如图 2-13(a)所示,电气系统如图 2-13(b)所示,试画出两系统结构图,并求出传递函数,证明它们是相似系统。图 2-11 系统结构图 图 2-12 系统结构图 图 2-13 系统结构图 (a)机械系统 (b)电气系统解:(1)若图 2-13(a) 所示机械系统的运动方程,遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加,平行移动,位移相同,串联元件各元件受力相同,总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为:yKFxf xKxfii20 01011)( )()

11、(取拉氏变换,并整理成因果关系有:)(1)( )()()20 01syFsfxKySxssfi画结构图如图 214: 求传递函数为:skfsfkfsfksfsXi 12211210 )( )()( (2)写图 2-13(b)所示电气系统的运动方程,按电路理论,遵循的定律与机械系统相似,即并联元件总电流等于两元件电流之和,电压相等。串联元件电流相等,总电压等于各元件分电压之和,可见,电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出:图 2-14 机械系统结构图 )()(1 )()()()(20 0112sECsIR sEsCEssIsIc iii整理成因果关系:)()(1)()

12、()202 0sEIRsSCsssIci画结构图如图 2-15 所示:求传递函数为:SCRsSCRSCRssEi 212121210 )( )()( 对上述两个系统传递函数,结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表 2-1。表 2-1 相似量机械系统 xi x0 y F F1 F2 K1 1/K2 f1 f2电气系统 ei e0 ec2 i i i 1/R R C1 C2例 2-11 RC 网络如图 2-16 所示,其中 u1 为网络输入量,u 2 为网络输出量。(1)画出网络结构图;(2)求传递函数 U2(s)/ U1(s)。解:(1) 用复阻抗写出原始方程组。输入回路 sCIIR211)(图 2-15 电气系统结构图 图 2-16 RC 网络

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