正定二次型和正定矩阵的概念 判别二次型或矩阵正定的方法 7 正定二次型 下页 关闭 正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。 二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 ) 。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。 正定二次型和正定矩阵的概念 定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型 它的秩是 r ，有两个实的可逆变换 上页 下页 返回 正数的个数称为正惯性指数，负数的个数 称为负惯性指数对任何 x 0 , 都有 f(x) 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A 0, （显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A 0 ；如果 定理12 实二次型 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 证 设可逆变换 上页 下页 返回先证充分性 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。 再证必要性：用反证法。假设有 k s 0 , 则 ( 单位坐
