1 Department of Mathematics 第三章 复变函数的积分2 第四节 解析函数与调和函数3 根据解析函数高阶导数定理, 4 1.Laplace 算子 偏微分方程 称为Laplace 方程 其中 称为Laplace 算子 从以上分析知:5 2 调和函数 定义3.5 注6 3. 共轭调和函数 注 (1) 定义3.6 (2) 定理3.18 注7 4. 解析函数的构造 由数学分析的定理知, 方法一: 应用曲线积分8 是全微分, 令 则 注 :9 注1: (3.21) 可由 去记. 方法二: 应用不定积分 有 有10 类似有 故 注 :11 5. 解析函数的等价刻划 (1) 定理3.19 (2) 刻划解析函数又一等价条件12 注 : 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部( 或虚部), 由解析函数的任意阶导数仍解析知,任一 二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数. 例1 证明 由于 但直线不是区域,13 例2 证明 由于 由于 从而 从而1415 例3 解 有1617 解( 法二)1819 例4 解 在右半 在右半 z z 平面上 平面上 故在右半 故在右半 z z 平面上
