1、 http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 1 页（共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-647227912007年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共 6小题，每小题 6分，满分 36分 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题表内 ）1要得到函数 的图象，只需将函数 的图象xy3cosxy3sinA右移 个单位 B左移 个单位 C右移 个单位 D左移 个单位212662点 在直线 上移动，当 取最小值时,点 与原点的距离是),(yx3yx4xy),(yxA B C D3544516983已知等差
2、数列 的前 项和为 ，若 ，且 三点nanSOCaAB201BA、共线（该直线不过原点 ） ，则 等于O20A100 B 101 C200 D2014用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是(1) 钝角三角形；(2) 直角三角形；(3) 菱形；(4) 正五边形；(5) 正六边形下述选项正确的是A(1)(2)(5) B(1)(2)(4) C(2)(3)(4) D(3)(4)(5)5设函数 ，若 时， 恒成立，则3fxR02sin10fmf实数 的取值范围是mA B C D ),0(),1()1,(,06集合 ， 是 的子集当 时，有 且 ，则2,345SASxA(1)xA()x称 为 的一个“
3、连续元素” 那么 的所有子集中，只含有两个“连续元素”的子集x的个数为 A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 9分，满分 54分请把答案填在答题卡相应题的横线上 ）http:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 2 页（共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-647227917已知 , ， 那么 = 24logxa0logxb12logxabcxclog8站在河边看对岸的目标 与 ，但不能到达在岸边选取相距 1千米的 两个观ABDC、测点，同时测得 ， （ 、 、 、45DC60BAB在同一平面上）
4、，则目标 与 之间的距离为 千米D9定义运算 * 为： * = ，如 1*2=1，则函数 * 的最大值为ab)(baxf2)(_10 若正数 满足 ，则 的取值范围是 、)1(311甲、乙两人约定傍晚 6时到 7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20分钟，过时即可离去，则两人在傍晚 6时到 7时之间会面的概率是 12在数列 中， ， ，则该数列的通项 等于 na10211nnaana三、解答题（本大题共 4小题，满分 60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）13 （本小题满分 12分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 为正三ABCDSABaSAD角形，且垂直
5、于底面 （1）求四棱锥 的体积；（2）在边 上是否存在一点 ，使得 ？请说明理由EESABCDhttp:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 3 页（共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791PnPn+114 （本小题满分 15分）关于 的方程 ： yx、 C0422myx（1）若方程 表示圆，求实数 的取值范围；（2）在方程 表示圆时，若该圆与直线 ： 相交于 两点，且l42yxNM、，求实数 的值；54|MN（3）在（2）的条件下，若定点 的坐标为（1，0） ，点 是线段 上的动点，求AP直线 的斜率的取值范围AP15 （
6、本小题满分 15分）在 平面上有一系列点 ， 对每个正整数 ,xoy ),(),(21yxP),(nyxPn点 位于函数 的图象上以点 为圆心的 与 轴都相切，且nP02xnx 与 彼此外切若 ,且 （ ） 11n1*N（1）求证：数列 是等差数列；nx（2）设 的面积为 ， , 求证：对任意 ，均PSnn ST21 *Nn有 23nThttp:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 4 页（共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-6472279116 （本小题满分 18分）二次函数 中，实数 满足 =0,其中rqxpxf2)( rqp、 m
7、rqp12求证： (1) ；(2)方程 在(0，1)内恒有解0m0)1(mf 0)(xf2007年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 6小题，每小题 6分，满分 36分 ）DAA BCC二、填空题（本大题共 6小题，每小题 9分，满分 54分 ）760 8 91 210 11 12 ),9952n三、解答题（本大题共 4小题，满分 60分 ）13解：（1）过点 作 ， 为垂足SADF因为侧面 垂直于底面 ，BC所以 底面 即 为四棱锥 的高1 分S又侧面 为正三角形，且边长为 ，ADa所以 2 分aF23SABCDFEhttp:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 5 页（
8、共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791由此， SFCDABVABCDS31a24 分36所以四棱锥 的体积为 5 分ABCDS36a（2）在边 上存在一点 ，使得 6 分EAES取边 的中点 ，连接 、 交于 7 分FO因为 、 分别为正方形 的边 、 的中点，所以 和FBCDAE为全等的直角三角形，且 8 分BA而 ，所以 ，90ED90EA即 所以 10 分OFA又因为 底面 ，所以 ，即 平面 ，SFBCSSBF11分所以 12 分E14解（1）方程 可化为： 1 分Cmyx5)2()1(2要使该方程表示圆，只
9、需 ，即 3 分0所以，方程 表示圆时，实数 的取值范围是 4 分)5,(（2）由（1）知，当方程 表示圆时，圆心为 ，半径2,1C为 5 分m5过圆心 作直线 的垂线 ， 为垂足则ClD6 分521|4| D又由 知 7 分|MN|因为 ，222| DC NMxOyCDNMxOyCAhttp:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 6 页（共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791PnPn+1所以 ，8 分222)5()5(m解得 10 分4（3）由（2）得圆 的方程为： C1)2()1(2yx再由 042)()1(2yx得
10、和 12 分My568N所以 ， ，13 分2AkAk由图象可知， 或 14 分MPANPk所以直线 的斜率的取值范围是 15 分),2,(15解：（1）依题意， 的半径 ， 1 分n2nnxyr 与 彼此外切，nP1，2 分 nr3 分12121)()( nn yyx两边平方，化简得 ,4nx即 , 4分 2114)(nx， 011nn即 ，6 分12()nNx 数列 是等差数列7 分 n(2) 由题设， ， ，即 ，8 分 1x1()2nx1nxhttp:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 7 页（共 8 页）中学生在线 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：01
11、0-64722791，9 分4422 )12(nxyrSnnn ST2110 分 )12(53n12分 )()3(1 13分 125)3(2 n 11n14分 )2(315 分16证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1) )1()()(2rmqpf )2(1)(22mpp,3分)(22由于 是二次函数，故 ,又 ,所以，)(xf 0p0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4分)(pf(2)由题意，得 5 分rqpfrf)1(,)0(当 时，由(1）知 07 分pmhttp:/ 快乐学习，尽在中学生在线第 8 页（共 8 页）中学生在线
12、 北京光和兰科科技有限公司 客服 QQ：100127805 客服热线：010-64722791若 ,则 ,又 0,所以 在(0， )内有解；0r)(f)1(mf 0)(xf1m9分若 ,则 ( )+ =r )1(prqf rp20,mp2又 0，所以 在( ，)内有解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j11分)1(f 0)xf1当 时，由(1）知 013 分pmf若 ,则 ( )0r )1)1(prqf rp2+ = 0，rmp2所以 在( ，)内有解；15 分)xf1m若 ,则 ，又 0，所以 在(0， )内有0rf)(f 0)(xf1m解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j17分所以，方程 在(0，1)内恒有解18 分)(xf
