1、第二十一讲 平面向量的数量积一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1设 i，j 是互相垂直的单位向量，向量 a(m1)i3j ，bi(m1)j，(ab)(ab )，则实数 m 的值为( )A2 B2C D不存在12解析：由题设知：a(m1， 3)，b(1 ，m1)，ab(m2，m4)，ab(m，m2)(ab) (ab)，(ab)(ab)0，m(m 2)(m 4)(m2)0，解之得 m2.故应选 A.答案：A2设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有( )Aab BabC|a| | b| D|
2、a| |b|解析：f(x) (xab)( axb )的图象是一条直线，即 f(x)的表达式是关于 x 的一次函数而(xa b)(axb )x |a|2x 2aba bx |b|2，故 ab0，又a，b 为非零向量，ab，故应选 A.答案：A3向量 a(1,1)，且 a 与 a2b 方向相同，则 ab 的范围是( )A(1，) B(1,1)C(1，) D(，1)解析：a 与 a2b 同向，可设 a2ba (0)，则有 b a，又 |a| ， 12 12 12 2ab |a|2 2 1 1， 12 12ab 的范围是(1，) ，故应选 C.答案：C4已知ABC 中， ab0，且 cos1，(2a
3、b)(a 3b)|2a b|a 3b|(2ab )(a3b)0， 260，2 或 0)，Error!解得 k2 .23故使向量 2ab 和 a3b 夹 角为 0的 不存在所以当 2 或 0 且 cos1， 为锐角12设在平面上有两个向量 a(cos，sin )(0360)，b .( 12，32)(1)求证：向量 ab 与 ab 垂直；(2)当向量 ab 与 a b 的模相等时，求 的大小3 3解：(1)证明：因为(ab)( a b)| a|2|b| 2(cos 2sin 2) 0，故 ab 与 ab(14 34)垂直(2)由| ab| a b|，两边平方得 3|a|22 ab|b| 2 |a|
4、22 ab3|b| 2，3 3 3 3所以 2(|a|2|b| 2)4 ab0，而 |a|b|，所以 ab0， 则 cos sin0，3 ( 12) 32即 cos(60)0，60k180 90，即 k 180 30，kZ，又 0 360，则 30或 210.13已知向量 a(cos( )， sin( )，b ，(1)求证：ab；(2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 xa( t23) b，y katb 满足 xy，试求此时 的最小值k t2t解：(1)证明：abcos()cos (2 )sin()sin sincossincos0.(2 )ab.(2)由 xy，得 xy0，即a(t 23) b(katb)0，ka 2(t 3 3t)b2tk(t 23)a b0，k|a| 2(t 33t)|b| 20.又|a |2 1，|b|21，k t 33t0，kt 33t， t 2t3k t2t t3 t2 3tt 2 .(t 12) 114故当 t 时， 有最小值 .12 k t2t 114
