1、第 1 页（共 37 页） 2012 年全国各地中考数学解析汇编 40 开放探索型问题12. (2012 山东日照，12，3 分)如图，在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形 OA1B1中，作内接正方形 A2B2C2D2；在等腰直角三角形 OA2B2中，作内接正方形 A3B3C3D3；依次作下去，则第 n 个正方形 AnBnCnDn的边长是（ ）A. 1n B. n3 C. 13 D. 231 解析：设正方形 A1B1C1D1的边长为 x，则 AC1= C1D1= D1 B =x,故 3x=1，x= ；同理，正方形 A2B2C2D2的边长为
2、 2，故可猜想第 n 个正方形 AnBnCnDn的边长是 n3.解答：选 B点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形 A1B1C1D1的边长.（2012 河北省 25,10 分）25、 （本小题满分 10 分）如图 14，A（-5,0） ，B(-3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO=45，CDAB，CDA=90，点 P 从点Q（4,0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位的速度运动，运动时间为 t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当BCP= 15时，
3、求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在直线）相切时，求 t 的值。【解析】在直角三角形 BCO 中，CBO=45OB=3，可得 OC=3，因此点 C 的坐标为（0,3） ；（2）BCP= OA1 B1C1 D1A BA2 B2C2 D2第 2 页（共 37 页） 15，只是提及到了角的大小，没有说明点 P 的位置，因此分两种情况考虑：点 P 在点 B 的左侧和右侧；（3）P 与四边形 ABCD 的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与 AO 相切，所以要分三种情况考虑。【答案】解（1）BCO=CBO
4、=45 OC=OB=3又点 C 在 y 轴的正半轴上， 点 C 的坐标为（0,3）2 分（2）当点 P 在点 B 右侧时，如图 2.若BCP=15，得PCO=30，故 OP=OCtan30= 3此时 34t4 分当点 P 在点 B 左侧时，如图 3，由. BCP=15得PCO=60故 PO=OCtan60=3 ， 此时 t=4+3t 的值为 4+ 或 4+3 6 分（3）由题意知，若P 与四边形 ABCD 的边都相切，有以下三种情况：当P 与 BC 相切于点 C 时，有BCP=90，从而OCP=45，得到OP=3，此时 t=17 分当P 与 CD 相切于点 C 时，有 PCCD，即点 P 与点
5、 O 重合，此时t=48 分当P 与 AD 相切时，由题意，DAO=90， 点 A 为切点，如图 4，229tPAC，4tO，于是 234t，解得 t=5.6t 的值为 1 或 4 或 5.60 分【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面（不重不漏） ，培养学生优秀的学习品质。有一定难度。（2012 河北省 26,12 分）26、 （本小题满分 12 分）如图 15-1 和图 15-2，在ABC 中，AB=13，BC=14， 135cosABC。第 3 页（共 37 页） 探究 如图 15-1，AHBC 于点 H，则 AH=_，AC=_，ABC 的面
6、积 SABC=_。拓展 如图 15-2，点 D 在 AC 上（可以与点 A、C 重合） ，分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E、F，设 BD=x，AE=m，CF=n， （当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABC =0）（1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 SABD 及 SCBD ；（2）求（m+n）与 x 的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围。发现 请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程） ，并写出这个最小值。【解析】探究 根据三角函数和勾股
7、定理可以很快求出 AH 和 AC 的值，进而求出三角形的面积。拓展（1）利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；（2）利用（1）中的式子，用 x 表示 m 和n，再求（m+n）的值。点 D 在 AC 上，BD 的长度可以认为是点 D 到 AC 的距离，所以当 BDAC 时，x 最小，是三角形 AC 边上的高，最大值是 BC 的长度，容易求出的最大值和最小值；（3）根据垂线段最短和轴对称可知，点 D 唯一时，只能是点 D 是垂足时和点 D 在点 A 关于垂足的对称点的下方时两种情况。发现 满足条件的直线就是 AC 所在直线，A、B、C 三点到这条直线的距离之和的最小值就是（m+n）的最小值
8、。【答案】解：探究12 15 843 分拓展（1）由三角形面积公式得 mx21ABDS， nxSCBD21 4 分（2）由（1）得 x2m， xn ， m+n= xSCBDA =1685 分第 4 页（共 37 页） 由于 AC 边上的高为 5618425ABCS x 的取值范围为 1456x（m+n）随 x 的增大而减小， 当 x= 时， （m+n）的最大值为 15；7 分当 x=14 时， （m+n）的最小值为 12. 8 分（3）x 的取值范围是 56x或 143x10 分发现AC 所在的直线11 分最小值为 5612 分【点评】此题为探究题型，前半部分难度较小，在确定 x 的取值范围时
9、，学生不容易想到；第（3）中 x的取值范围也不容易想到，是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。24. （ 2012湖北省恩施市，题号 24 分值 12）如图 12，已知抛物线 y- x2 bx 与一直线相交于A（-1,0） ，C（2,3）两点，与 y 轴交与点 N。其顶点为 D。（1 求抛物线及直线 A、C 的函数关系式；（2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上任意一点，过 E 作 EFBD，交抛物线于点F，以 B、D、E、F 为顶点的四
10、边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若点 P 是该抛物线上位于直线 AC 上方的一动点，求APC 面积的最大值第 5 页（共 37 页） 【解析】 （1）直接将 A、C 两点的坐标代入 y- x2 bx 和 y=kx+b 即可。（2）本题实质是在直线 x=3 上找一点 M 使 MN+MD 的值最小。作 N 关于 x=3 的对称点，连接 D N1，求直线D N1和 x=3 的交点可得 m 的值；（3）BD、EF 是平行四边形的邻边，分点 E 在线段 AC 和线段 AC（或 CA）延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点 F 和点 E 横坐标相同，点
11、F 纵坐标等于点 E 纵坐标加（或减）BD 长度，设点 E（x,y） ，则点 F 坐标（x,y+3）,代入抛物线表达式可求解；（4）作 CQx 轴于 Q，作 PGx 轴，交 AC 于 H，则点 H 和点 P 横坐标相同，设二者横坐标为 x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用 x 表示 PH 的长度，根据PAC 面积等于21PHAQ（AQ 为定值）可讨论其最值。【答案】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A（-1,0） ，C（2,3）在AC上，可得：nk30解得:k=1,n=1AC的解析式为：y=x+1; 把A（-1,0） ，C（2,3） y- x2 bx cb243
12、10解得b=2,c=3,抛物线的解析式为y= - x22x3，N（0,3）D（1,4）.(2) 作 N 关于 x=3 的对称点 N1，连接 DN1，则 N1（6,3）.设直线 D N1的解析式为 y=px+q，则有：第 6 页（共 37 页） qp634，p= 51，q= 2,D N1的解析式 y= 51x+ 2，当 M（3，m）在 D N1上时，MN+MD 的值最小，m= 3+ =8；（3）易知 B(1,2)，又 D（1,4）BD=2.因为点 E 在 AC 上，设点 E（x,x+1）,1当点 E 在线段 AC 上时，点 F（x.x+3） ，代入 y= -x22x3，得 x+3=-x22x3，
13、解得 x=0 或=1（不符合题意舍去） ，E；2当点 E 在线段 AC（或 CA）延长线上时，点 F（x.x-1） ，代入 y= -x22x3，得 x-1=-x22x3，解得 x= 217，所以 E（ 217, ）E( 217, )综上所述，当点 E（0, 1） 、 （ , ）或( , 217)时以 B、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形；（4）作 CQx 轴于 Q，作 PGx 轴，交 AC 于 H。设 H（x,x+1） ，则 P（x, -x 22x3）,所以 PH=（-x 22x3）-（x+1）= -x 2+ x+2，又SPAB=SPAH+ SPBH= 1PHAQ= （-x 2+ x
14、+2）3= （x- 1） 2+ 87，APC 面积的最大值是 87。的交点可得 m 的值；【点评】本题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。28 （2012 湖南衡阳市，28，10）如图所示，已知抛
15、物线的顶点为坐标原点 O，矩形 ABCD 的顶点 A，D 在抛物线上，且 AD 平行 x 轴，交 y 轴于点 F，AB 的中点 E 在 x 轴上，B 点的坐标为（2，1） ，点 P（a，b）在抛物线上运动 （点 P 异于点 O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点 P 作 CB 所在直线的垂线，垂足为点 R，求证：PF=PR；第 7 页（共 37 页） 是否存在点 P，使得PFR 为等边三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；延长 PF 交抛物线于另一点 Q，过 Q 作 BC 所在直线的垂线，垂足为 S，试判断RSF 的形状解析：（1）根据题意能判断出点 O 是矩形 ABCD
16、的对角线交点，因此 D、B 关于原点对称，A、B 关于 x 轴对称，得到 A、D 的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式（2）首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点 P 的坐标，然后表示出 PF、RF 的长，两者进行比较即可得证；首先表示 RF 的长，若PFR 为等边三角形，则满足 PF=PR=FR，列式求解即可；根据的思路，不难看出 QF=QS，若连接 SF、RF，那么QSF、PRF 都是等腰三角形，先用SQF、RPF 表示出DFS、RFP 的和，用 180减去这个和值即可判断出RSF 的形状答案：解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D 关于抛物线的对称轴对称；E 是 AB 的
17、中点，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，又 B（2，1）A（2，1） 、D（2，1） ；由于抛物线的顶点为（0，0） ，可设其解析式为：y=ax 2，则有：4a=1，a=抛物线的解析式为：y= x2（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a， a2） ，而 R（a，1） 、F（0，1） ，则：则：PF= = = a2+1，PR= a2+1PF=PR由得：RF= ；第 8 页（共 37 页） 若PFR 为等边三角形，则 RF=PF=FR，得：= a2+1，即： a4 a23=0，得：a2=4（舍去） ，a 2=12；a=2 ， a2=3；存在符合条件的 P 点，坐标为（2 ，3） 、 （2 ，3）
18、 同可证得：QF=QS；在等腰SQF 中，1= （180SQF） ；同理，在等腰 RPF 中，2= （180RPF） ；QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=1801+2= （360SQFRPF）=90SFR=18012=90，即SFR 是直角三角形点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论27. （ 2012 贵州省毕节市，27，16 分）如图，直线 l1经过点 A（-1，0） ，直线 l2经过点 B(3,0), l1、 2均为与 y轴交于点 C(0, 3),抛物线 )(2a
19、cbxy经过 A、B、C 三点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与 x轴交于点 D、与 l2交于点 E、与抛物线交于点 F、与 l1交于点 G。求证：DE=EF=FG;(3)若 l1 2于 y轴上的 C 点处，点 P 为抛物线上一动点，要使 PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点 P 的坐标，并简述理由。第 9 页（共 37 页） 解析：（1）已知 A、B、C 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）D、E、F、G 四点均在对称轴 x=1 上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段 DE、EF、FG 的长度D 是对称轴与 x 轴交点，F 是抛物线顶点，其坐标易求；E
20、 是对称轴与直线 l2交点，需要求出 l2的解析式，G 是对称轴与 l1的交点，需要求出 l1的解析式，而 A、B、C 三点坐标已知，所以 l1、l 2的解析式可以用待定系数法求出至此本问解决；（3）PCG 为等腰三角形，需要分三种情况讨论如解答图所示，在解答过程中，充分注意到ECG 为含 30 度角的直角三角形，P 1CG 为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决解答：解（1）依题意，得.cba390， 解得 ,323cba抛物线的函数表达式是y= x2- x- ;（2）直线l 1经过点A（-1，0） ，C（0，- 3） ，直线l 1的函数表达式为y 1=- 3x- .直线l 2经过
21、点B（3，0） ，C（0- ） ，直线l 2的函数表达式为y 2= x- .又抛物线的对称轴是x=1，点D的坐标为（1，0） ，点E的坐标为（1，- 3） ，点F的坐标为（1，- 34） ，点G的坐标为（1，-2 3）.DE=EF=FG= 2；（3）P点的坐标为：P 1（2，- ） ，P 2（1， 4）.理由：分三种情况：以G点为圆心，GC长为半径作弧，交抛物线于点C和点P 1，连结CP 1、GP 1，所以GC=GP 1.由等腰三角形的三第 10 页（共 37 页） 线合一性质（或抛物线的对称性）可知点P 1与点C关于直线x=1对称，所以点P 1的坐标为（2，- 3） ；以点C为圆心，CG长为
22、半径作弧，因为CGF=30，所以CGP 1=60，即CGP 1是等边三角形，又因为AC=CG=2，所以作出的弧与抛物线交于点A和点P 1，但A、C、G在同一条直线上，不能组成三角形.作线段CG的垂直平分线，因为CGP 1是等边三角形，所以P 1点在线段CG的垂直平分线上；连接CF，由于l1l 2于点C，F是EG的中点，所以FC=FG，即F点也在线段CG的垂直平分线上，所以P 2点与F点重合，即P 2点的坐标是（1，- 34）.综上所述，点P的坐标是P 1（2，- 3） ，P 2（1，- 34）.点评：作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数、
23、一次函数）解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等难点在于第（3）问，需要针对等腰三角形PCG 的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件（例如直角三角形、等边三角形） ，这样可以简化解答过程29(2012 江苏苏州，29，12 分)如图，已知抛物线 y= x2 （b+1）x+ （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 （b，0） ，点 C 的坐标为 （0， ） （用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由分析： （1）令 y=0，即 y= x2 （b+1）x+ =0，解关于 x 的一元二次方程即可求出
