1、智浪教育 普惠英才文库第二单元 方程与不等式第 6 讲 一次方程(组)考点 1 一元一次方程及解法等式的性质 性质 1：等式两边加(或减) 同一个数或同一个 ，所得结果仍是等式；性质 2：等式两边乘(或除以)同一个数( 除数不能为 0)，所得结果仍是 .方程的概念 含有未知数的 叫做方程.方程的解 使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的概念 只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去 、移项、合并 、系数化为 1.考点 2 二元一次方程组及解法二元一次方程的概念 含有 未知数，并且未知项的
2、次数是 的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组的概念 一般地，含有 的未知数的 二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组 方程. 消 元转 化消元是解二元一次方程组的基本思路，方法 有 消元法和 消元法两种.考点 3 一次方程(组)的应用列方程( 组)解应用题的一般步骤1.审 审清题意和数量关系，弄清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系.2.设 设未知数(可设直接或 未知数).173.列 根据题意寻找 列方程(组).184.解 解方程(组
3、).5.答 检验所求的未知数的值是否符合题意，写出答案.1.解二元一次方程组时，若方程组其中一个方程中的未知数系数为 1 或-1 ，则直接采用代入消元法求解；若相同未知数的系数相等或互为相反数时，则直接采用加减消元法求解.新*课*标*第*一*网2.列方程( 组) 的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：抓住不变量；找关键词；画线段图或列表格；运用数学公式.命题点 1 一次方程(组)的解法智浪教育 普惠英才文库例 1 (2014滨州)解方程组： 371.xy， 【思路点拨】通过观察方程组，y 的系数符号相反且系数的绝对值是整数倍，3+即可消去 y，求出 x，然后再代入任一方程可求 y 的
4、值.【解答】方法归纳：在对二元一次方程组进行消元时，要根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法：(1)方程中有一个未知数的系数为 1 或-1 时，一般采用代入消元法；(2)当两个方程中的某个未知数的系数相同或互为相反数，或者存在倍数关系时，一般采用加减消元法.1.(2014滨州)方程 2x-1=3 的解是( )A.-1 B. C.1 D.2122.(2014娄底)已知关于 x 的方程 2x+a-5=0 的解是 x=2，则 a 的值为 .3.解方程： - =-1.3.42x354.(2014湖州)解方程组 37,2.xy命题点 2 一次方程(组)的应用例 2 (2014聊城)某服装店用 6 000
5、 元购进 A，B 两种新式服装，按标价出售后可获毛利润 3 800 元(毛利润售价-进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果 A 种服装按标价的 8 折出售 ，B 种服装按标价的 7 折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？【思路点拨】(1)题中有两个等量关系式：购进 A 种新式服装和 B 种新式服装共 用去 6 000 元；按标价出售 A种新式服装和 B 种新式服装后共可获毛利润 3 800 元.依据这两个等量关系直接设未知数构建方程组求解即可；(2)根据第(1)题计算出购进 A 型服装、B 型服装的数量，再按“A 种服装按
6、标价的 8 折出售，B 种服装按标价的 7 折出售”进行计算即可.【解答】智浪教育 普惠英才文库方法归纳：用方程(组)解决问题的关键是审清题意，找出题目的相等关系，一些相等关系可以设元转换未知量，另一些相等关系可以列方程用，但一般情况是一个相等关系只用一次.1.(2014无锡)某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元，一支圆珠笔的售价为 2 元.该店在“61 儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打 8 折出售，圆珠笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60 支，卖得金额 87 元.若设铅笔卖出 x 支，则依题意可列得的一元一次方程为( )A.1.20.8x+20.9(60+x)87 B.1
7、.20.8x+20.9(60-x)87C.20.9x+1.20.8(60+x)87 D.20.9x+1.20.8(6 0-x)872.(2013枣庄)某种商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 10%，则这种商品每件的进价为( )A.240 元 B.250 元 C.280 元 D.300 元3.(2014温州)20 位同学在植树节这天共种了 52 棵树苗，其中男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵.设男生有 x 人，女生有 y 人.根据题意，列方程组正确的是 ( )A. B.5230x 5230xyC. D.25yx 25xy4.(2014江西)小锦和小丽购买了价格分别相同
8、的中性笔和笔芯.小锦买了 20 支笔和 2 盒笔芯，用了 56 元；小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯，仅用了 28 元.求每支中性笔和每盒笔芯的价格.1.(2014咸宁)若代数式 x+4 的值是 2，则 x 等于( )A.2 B.-2 C.6 D.-62.(2015原创)关于 x 的方程 3x+m-7=0 的解是 x=1，则 m 的值为( )A.2 B.3 C.4 D.53.(2014娄底)方程组 的解为( )125y，A. B. 1xy23xyC. D. 21-1智浪教育 普惠英才文库4.(2014孝感)已知 是二元一次方程组 的解，则 m-n 的值是( )-12xy321xymn，A.1
9、B.2 C. 3 D.45.(2013南昌)某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的 2 倍多1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人，到瑞金的人数为 y 人.下面所列的方程组正确的是( )A. B.342xy 421xyC. D.1xy3xy6.(2013随州)我市围绕“科学节粮减损，保障粮食安全” ，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”.每套小粮仓的定价是 350 元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多 30 元，则购买一套小粮仓农户实际出资是( )A.80 元 B.95 元 C.135 元
10、D.270 元7.(2014湖州)方程 2x-1=0 的解是 x= .8.(2014重庆 A 卷) 方程组 的解是 .35xy，9.请写出一个二元一次方程组答案不唯一，如： 使它的解是 21.xy，10.(2013湘潭)湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人 2 盒牛奶，那么剩下 16 盒；如果送给每位老人 3 盒牛奶，则正好送完.设敬老院有 x 位老人，依题意可列方程为 .11.已知关于 x、y 的二元一次方程组 且 x+y=2，则 k 的值为 .23,2xyk12.(2014甘孜)设 a，b，c ，d 为实数，现规定一种新的运算 =
11、ad-bc.则满足等式 =1 的 x 的值为 .abcd2x1313.(2014滨州)解方程：2- = .213x14.(2014威海)解方程组： 352xy， -=1.15.(2014岳阳)某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分.某队在全部 16 场比赛中得到 25 分，求这个队胜、负场数分别是多少？智浪教育 普惠英才文库16.(2014连云港)小林在某商店买商品 A、B 共三次，只有一次购买时，商品 A、B 同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品 A、B 的数量及费用如下表：购买商品 A 的数量(个) 购买商品 B 的数量(个) 购买总费用
12、(元)第一次购买 6 5 1 140第二次购买 3 7 1 110第三次购买 9 8 1 062(1)小林按打折扣价购买商品 A、B 是第 次购买；(2)求 A、B 的标价；(3)若 A、B 的折扣相同，问商店是打几折出售的？17.(2013凉山)根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；(2)如果要使水面上升到 50 cm，应放入大球、小球各多少个？18.(2013嘉兴)某镇水库的可用水量为 12 000 万立方米，假设年降 水量不变，能维持该镇 16 万人 20 年的用水量.实施城市化建设，新迁入 4 万人后，水库只够维持居民 15 年
13、的用水量.(1)问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？(2)政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到 25 年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？智浪教育 普惠英才文库19.(2014滨州)某公园“6 1”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大的折扣，张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动，王斌也想去，就打听张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去了 3 个大人和 4 个小孩，共花了 38 元钱；李利说他家去了 4 个大人和 2 个小孩，共花了 44 元钱.王斌家计划去 3 个大人和 2 个小孩，请你帮他算一下，需准备 元钱买门票.20.(2013
14、扬州)已知关于 x、y 的方程组 的解满足 x0，y0，求实数 a 的取值范围.5183xya，21.(原创)有一种用来画圆的工具板 (如图所示)，工具板长 21 cm，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为 3 cm，其余圆的直径从左到右依次递减 x cm，最大圆的左侧距工具板左侧边缘 1.5 cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘 1.5 cm；且相邻两圆的间距 d 均相等.(1)用含 x 的代数式表示出其余四个圆的直径长；(2)若最大圆是最小圆的直径的 1511，求相邻两圆的间距.22.(2014日照)如图，长青化工厂与 A、B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A 地购买
15、一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地.已知公路运价为 1.5 元/( 吨千米) ，铁路运价为 1.2 元/( 吨千米)，且这两次运输共支出公路运输费 15 000 元，铁路运输费 97 200 元.求：(1)该工厂从 A 地购买了多少吨原料？制成运往 B 地的产品多少吨？(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？23.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：智浪教育 普惠英才文库说明：每户产生的污水量等于该户的用水量；水费=自来水费+污水处理费已知小王家 20
16、12 年 4 月份用水 20 吨，交水费 66 元；5 月份用水 25 吨，交水费 91 元.(1)求 a、 b 的值 ;(2)随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把 6 月份水费控制在家庭月收入的 2%，若小王家月收入为 9 200 元，则小王家 6 月份最多能用水多少吨？参考答案考点解读整式 等式 等式 相等 一 1 括号 同类项 两 1相同 两 公共解 一元一次 代入 加减 间接 等量关系17 18各个击破例 1 3+ ，得 10x=20，则 x=2.把 x=2 代入，得 6-y=7，则 y=-1.原方程组的解为 21.xy，题组训练 1.D 2.1 3.去分母，得 5(x
17、+4)-2(x-3)=-13，去括号，得 5x+20-2x+6=-13，移项，得 5x-2x=-13-20-6，合并，得 3x=-39，系数化为 1，得 x=-13.4.+得 5x=10,x=2.把 x=2 代入，得 4-y=3,y=1.原方程组的解是 2,1.xy例 2 (1)设购进 A 型服装 x 件，B 型服装 y 件.由题意，得解得6016 03 80.x， 50 3.x，答：购进 A 型服装 50 件，B 型服装 30 件.(2)A 种服装按标价的 8 折出售，B 种服装按标价的 7 折出售时，服装店的毛利润为：(1000.8-60)50+(1600.7-100)30=2050+12
18、30=1 360(元).3 800-1 3602 440(元).答：服装店打折售出比按标价售出少收入 2 440 元.智浪教育 普惠英才文库题组训练 1.B 2.A 3.D 4.设每支中性笔 x 元，每盒笔芯 y 元，根据题意，得解得2056,38.yx2,8.答：每支中性笔 2 元，每盒笔芯 8 元.整合集训1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7. 8.123xy，9.答案不唯一，如： 10.2x+16=3x 11.4 12.-10+3xy，13.去分母，得 12-2(2x+1)=3(1+x)，去括号，得 12-4x-2=3+3x，移项，合并同类项，得-7x=-7，把系数化为 1
19、，得 x=1.14. 6，得 3x-2y6.-，得 3y3.y1.把 y1 代入，得 3x-53.x .83原方程组的解为 ,1.y15.设这个队胜 x 场，则负(16-x)场.根据题意得2x+(16-x)=25，解得 x=9.16-x=7.答：这个队胜、负场数分别是 9 场、7 场.16.(1)三.(2)设 A、B 的标价分别为 x 元， y 元 ，则由题意，得解得6514027.xy， ,120.答：A、B 的标价分别为 90 元，120 元.(3)设商店是打 x 折出售的，则(909+8120)=1 062.解得 x=6.10x答：商店是打六折出售的.17.(1)放入三个体积相同的小球水
20、面升高 32-26=6(cm)，则放入一个小球水面升高 2 cm；放入两个体积相同的大球水面升高 32-26=6(cm)，则放入一个大球水面升高 3 cm.故答案分别填：2，3.(2)设应放入 x 个大球，y 个小球，由题意，得 新* 课*标*第*一*网解得35026,1.4,.xy答：应放入 4 个大球，6 个小球.18.(1)设年降水量为 x 万立方米，每人年平均用水量为 y 立方米，则智浪教育 普惠英才文库解得1201620,5.xy20,5.xy答：年降水量为 200 万立方米，每人年平均用水量为 50 立方米.(2)设该镇居民年平均用水量为 z 立方米才能实现目标，则12 000+2
21、52002025z.解得 z34.50-3416.答：该镇居民人均每年需要节约 16 立方米的水才能实现目标 .19.3420.解关于 x、y 的方程组，得 32,4.xayx0， y0， 32,4.aa 的取值范围是 a2.321.(1)其余四个圆的直径长分别为(3-x)cm ，(3-2x)cm，(3-3x)cm，(3-4x)cm ；(2)根据题意，得 1534,2.3234d21.xxx 解得 0,1.5d答：相邻两圆的间距为 1.25 cm.22.(1)设工厂从 A 地购买了 x 吨原料，制成运往 B 地的产品 y 吨，依题意，得.200,1972.y整理，得 解得1,80.xy40,3
22、.xy答：工厂从 A 地购买了 400 吨原料，制成运往 B 地的产品 300 吨.(2)3008 000-4001 000-15 000-97 200=1 887 800(元).答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元.23.(1)由题意，得解得170.3.86,91.ab 2.,4ab(2)当用水量为 30 吨时，水费为：173+135=116(元)，9 2002%=184(元).116184，小王家 6 月份最多能用水超过 30 吨.设小王家 6 月份用水量为 x 吨，由题意，得173+135+6.8(x-30)184 ，解得 x40.智浪教育 普惠英才文库小王家 6 月份最多用水 40 吨.新课标第一网系列资料
