1、基于分形维数的光学表面质量评价及响应曲面模型董之然，杨炜 *(厦门大学物理与机电工程学院，福建 厦门 361005)摘要：针对光学元件表面的微观形貌结构呈现出随机性、无序性和多尺度性,反映出一种非平稳的随机过程这一问题,本文利用光学元件表面具有微观结构上的统计自相似性特征。首先通过结构函数法计算光学表面的分形维数，分析了分形维数与表面传统评价参数 PV 值近似线性的关系，验证了可以利用分形维数来评价光学元件表面精度；再者，建立分形维数与抛光参数的响应曲面回归模型，评价各抛光参数对分形维数的影响权重，旨在控制显著性较强的抛光参数来获取更好的光学元件表面质量，为今后的实际加工起到指导作用。关键字：
2、光学表面；分形维数 ；响应曲面法中图分类号：TB92 文献标识码：A在航天、军事、日常生活领域中，光学元件在各种精密光学系统中的应用日益广泛，而光学表面的微观几何结构影响着光学元件的机械和物理性能，所以对光学元件的表面精度要求也越来越高。在现有方法中，多采用统计学标准参数（如峰谷值 PV、均方根误差RMS）来反映光学元件的表面形貌 1，但是光学元件表面的微观形貌结构呈现出随机性、无序性和多尺度性特征，反映出的是一种非平稳的随机过程，对于同一光学表面，不同的采样长度、仪器分辨率和测量方法所测出的统计参数值是不同的 2，需要寻找一个具有尺度不变性的参数来表征光学元件表面形貌。大量研究表明：光学元件
3、表面具有统计学上的自相似性结构 3，在一定尺度范围内具有分形特征，而分形几何理论对描述具有标度律特征的自然现象具有很好的适用性。因此，本文采用结构函数法计算 CMP（Chemical Mechanical Polishing,化学机械抛光）加工后光学元件表面的分形维数，同时分析了分形维数与表面传统评价参数 PV 值近似线性的关系，验证了可以用分形维数来评价光学元件表面形貌。再者，对于如何提高 CMP 光学元件的表面精度，国内外学者观点较为统一，都是采用控制抛光压力、抛光盘和工件相对转速两种参数来实现，理论分析和实验结果也表明适当控制这两个参数确实可以显著提供光学元件的表面精度，但是对于这两个因
4、素何者更显著影响精度鲜有报道。因此，本文提出了建立分形维数与抛光参数的响应曲面回归模型，评价各抛光参数对分形维数的影响权重，旨在控制显著性较强的抛光参数来获取更好的光学收稿日期：2013-06-17基金项目：2013ZX04001000-206 国家科技重大专项* 通信作者：元件表面质量，为今后的实际加工起到指导作用。1 分形维数计算方法分形几何理论是研究和处理具有标度率特征不规则图形的强有力工具 4，其重要参数“分形维数 D”能完全地表达出光学元件表面所有的微观结构信息，是一种描述微观轮廓的有效手段。分形维度 D 常用计算方法有尺码法、盒计数法、方差法、功率谱法和结构函数法等 5。尺码法和盒
5、维数的计算结构与理论维数相差太大，方差法抗干扰性差，功率谱法的本质是傅里叶变换，计算过程存在许多近似，精度不高，因此在工程运用中，多采用结构函数法来计算分形维数 D，结构函数法直接使用表面高度数据，能比较真实反映光学元件的微观结构，因此本文采用结构函数法来计算光学元件表面的分形维数。 。结构函数法是将表面轮廓曲线视为一个空间序列 ，则具有分形特征的光学元件表)(xz面轮廓曲线采样数据，其结构函数满足 6DCdtjSxZS 2421)ep()() （1）其离散表达式为DnNiiiGXtnS2412)()() （2）式中, 测量轮廓高度； 采样点数； 的任意增量; 形貌特征参数。iXNi根据已知轮
6、廓高度数据,求出结构函数 ,在双对数 坐标中用)(Slog)(logS最小二乘法进行拟合，得到直线斜率 ,则分形维数可表示为：2/D（3）2 光学表面分形维数计算为了研究光学元件表面分形特点，寻找分形维数与 PV 值的关系，本文设计了光学元件CMP 抛光实验来验证分形维数评价光学元件表面形貌的可行性，实验条件如下：POLI-400 CMP 抛光机，主要包括夹持工件的抛光头、抛光盘、抛光液喷射装置等部件，如图 1 所示，抛光加工材料为 JGS1、K9 光学玻璃，采用 120nm CMP 抛光液，抛光机可控参数为抛光2SiO压力 P 和转速 V（文中的转速 V 均为抛光盘和工件相对转速） 。基于两
7、个可控参数，设计一个二因素三水平的完全因子实验，参数具体设置如表 1 所示。抛光完成后，利用 Taylor Hobson 1240 轮廓仪(测针长度为 60mm，分辨率为 0.8nm)对光学元件表面轮廓进行测量（采样长度为 10mm，采样间隔为 0.125m，共采集 80000 个数据点） ，从而得到峰谷值PV，最后采用结构函数法计算出分形维数 D，实验结果如表 2 所示。表 1 CMP 抛光实验参数设置Tab.1 CMP polishing experiment parameter settingsJGS1、K9编号 抛光压力 P/2cmg转速 V/rpm1 125 42/392 175 5
8、3/483 225 63/58图 1 POLI-400 CMP 抛光机 Fig. 1 POLI-400 CMP polishing machine表 2 光学玻璃不同轮廓线的分形维数Tab. 2 The fractal dimension of the profile of optical glass is different分形维数 D PV 值/m抛光压力 P 编号 转速 V 编号JGS1 K9 JGS1 K91 1 1.5414 1.6274 0.2636 0.11361 2 1.6122 1.6101 0.1461 0.14921 3 1.6666 1.514 0.0935 0.206
9、92 1 1.5293 1.5792 0.2341 0.16862 2 1.6492 1.5632 0.1115 0.20862 3 1.6561 1.4728 0.1275 0.38843 1 1.4413 1.5695 0.4563 0.18013 2 1.5611 1.4591 0.2034 0.40323 3 1.5716 1.4271 0.1968 0.4533图 2 JGS1 光学玻璃的表面轮廓曲线 图 3 K9 光学玻璃的表面轮廓曲线Fig. 2 JGS1 optical glass surface profile curve Fig. 3 K9 optical glass su
10、rface profile curve 图 4 JGS1 的双对数曲线 图 5 K9 的双对数曲线Fig. 4 The double logarithmic curve of JGS1 Fig. 5 The double logarithmic curve of K9 图 2、3 分别为 JGS1、K9 光学玻璃 CMP 抛光加工后的轮廓曲线，根据轮廓曲线上的采样数据，利用式(3)计算出结构函数 与尺度 的双对数曲线，分别如图 4、5 所示。可)(S以看出，抛光表面存在一个有限界定尺度 ，在一定的尺度范围内，结构函数主要由工艺cn参数决定 7，结构函数 与尺度 具有良好的线性关系，存在明显的分
11、形特征。但超出)(S这个范围后，微观轮廓相互作用减弱，工艺参数的作用减弱，其他外界干扰因素对表面轮廓的影响逐步明显，使得结构函数 与尺度 呈现出非线性的关系。)(通过以上实验，可以看出 JGS1、K9 光学玻璃表面的分形维数 具有以下特征：D1）分形维数 D 不受采样长度的影响,光学元件表面具有统计学上的自仿射性特征，分形维数 D 包含光学元件表面的所有结构信息，是光学表面信息的一个固有特性，并不随测量尺度的变化而变化，具有尺度不变性的特征，适合所有测量尺度下运用。2）采样点数数量对分形维数 有一定的影响，如图 4、5 所示，分形维数 是通过结D构函数法计算求得的，大量的测量数据点会降低计算误
12、差，会使结构函数 与尺度 的)(S关系趋于稳定，提高分形维数 D 计算值的稳定性；相反过于少量的数据使得结构函数与尺度 的线性关系不明显，分形维数 容易受到测量仪器，外界环境的干扰因素的)(S影响，分形维数计算值产生较大误差，根据近几年相关文献 91011，每毫米采样长度的采样点数一般都要在 1000 个以上为宜。3）分析表 2 中 PV 值和分形维数 的关系可以看出，PV 值与分形维数 存在一定的近DD似线性关系，PV 值反映的是光学元件表面微观轮廓的幅值参数，而分形维数 反映的是表面间距和幅值的综合参数，使得这种线性关系并不确定。PV 值越小，所对应的分形维数的值就越大，分形维数 D 反映
13、表面围观轮廓的复杂性， D 值越大，表面轮廓越复杂，微D观结构越精细，表面越光滑，质量越好，所以当 PV 值小且 D 大时，可认为表面质量较高。3 抛光参数与分形维数的关系为了更好的指导加工，在分析了分形维数与 PV 值的基础上，需研究抛光参数对分形维数的影响权重，为此，在 CMP 抛光加工中，可控参数为抛光压力 P 和转速 V，利用上述实验数据建立抛光参数与分形维数 D 的响应曲面回归模型，以研究抛光参数与分形维数 D 的关系。响应曲面法，也称为回归设计，这类试验设计寻找试验指标与各因子间的定量规律，并建立响应曲面回归模型 8。与多元线性正交设计、正交多项式设计等相比较，响应曲面法考虑的因素
14、很多，运算非常繁杂，建立的是复杂的多维空间曲面较接近实际情况。响应曲面法首先要寻找一个合适的近似方程来表征响应 与一系列可控参数 yn21x,之间的真正的函数关系，通常一些未知或者非线性的函数关系可以利用二次响应模型来表示它们 12，如下所示：（4）jijiniini xbxbby1210式中, 响应； 回归系数； 可控参数； 噪声误差。y 根据以上分析，本实验有 2 个可控参数，故响应曲面方程形式如式（5）所示：（5）2543210 VbPbVPbD利用上述表 2 实验数据，进行回归分析，得到抛光压力，转速，分形维数的响应曲面方程如式（6） 、 （7）所示。JGS1 的响应曲面方程：22V0
15、.3145P.75V0.12.236P0.1975.2643D （6）K9 的响应曲面方程：220.179P.30.86.27P0.8931.57 （7）对上述响应曲面方程进行方差分析，结果如表 3、4 所示。由表 3 方差分析可以看出：JGS1 响应曲面方程的 F 值大于 F 分布下 95%置信水平下单侧临界值 F0.05（5,3）=9.01 且,说明该回归方程拟合程度好，试验误差小，模型显著，能用来表征 CMP 抛0.5.18P光工艺中抛光压力、转速和分形维数之间的关系。由表 4 方差分析可看出：K9 响应曲面方程的 F 值大于 F0.05（5,3）=9.01 且 ,该回归方程能表征抛光参
16、数与分形维0.5.3P数三者之间关系，但方程拟合程度较小，试验误差较大，显著性也不如 JGS1 回归方程。表 3 JGS1 响应曲面方程的方差分析Tab.3 Analysis of variance of JGS1 response surface equation来源 自由度 平方和 均方 F F0.05 P回归模型 5 0.030114 0.006023 18.56 9.01 0.018残差 3 0.000974 0.000325总和 8 0.031088表 4 K9 响应曲面方程的方差分析Tab.4 Analysis of variance of K9 response surface
17、equation来源 自由度 平方和 均方 F F0.05 P回归模型 5 0.035721 0.007144 11.58 9.01 0.035残差 3 0.001851 0.000617总和 8 0.037572响应曲面图是响应值分形维数 D 对各输入因子抛光压力 P、转速 V 构成的三维空间曲面图，响应曲面分析的等高线图可以直观的反映各因素（P、V）对响应值 D 的影响及最佳参数。图 6 为抛光压力和转速对 JGS1 光学表面分形维数的影响。当抛光压力处于固定水平值时，分形维数随着转速的提高而逐渐升增大，且增长幅度较大。当转速处于固定水平值时，分形维数随着抛光压力的提高而逐渐减小，但减小幅
18、度较小。对抛光压力、转速进行双因子方差分析，得到分析结果如表 5 所示。由表 5 抛光参数显著性检测结果可知，抛光压力的 且 ，抛光压力对分形维数有显著影响；转6.94(2,)F1.490.50.59.1P速的 ， ；说明转速对分形维数有极显著影响。.,.27. .结合图 7 抛光压力和转速对 K9 光学表面分形维数的影响与表 6 抛光参数显著性检测结果可得出，转速对分形维数有极显著影响，当抛光压力一定时，分形维数随着转速增加而逐渐减小，减小幅度较大；抛光压力对分形维数有显著影响，且当转速一定时，分形维数随着抛光压力的增加而逐渐减小，但减小幅度较小。图 6 JGS1 光学玻璃 CMP 抛光参数
19、对分形维数影响的响应面和等高线图 图 7 K9 光学玻璃 CMP 抛光参数对分形维数影响的响应面和等高线图Fig. 6 Response surface and contour plot indicating Fig. 7 Response surface and contour plot indicating the effect of the CMP polishing parameters on the the effect of the CMP polishing parameters on the fractal dimension of JGS1 optical glass fra
20、ctal dimension of K9 optical glass表 5 JGS1 抛光参数 P、V 的方差分析Tab.5 Analysis of variance of JGS1s polishing parameters P, V来源 自由度 SS MS F P 显著性P 2 0.0092282 0.0046141 12.49 0.019 V 2 0.0203821 0.0101910 27.59 0.005 误差 4 0.0014777 0.0003694 总和 8 0.0310880 表 6 K9 抛光参数 P、V 的方差分析Tab.6 Analysis of variance of
21、 JGS1s polishing parameters P, V来源 自由度 SS MS F P 显著性P 2 0.0122583 0.0061292 11.42 0.022 V 2 0.0231672 0.0115836 21.59 0.007 误差 4 0.0021464 0.0005366 总和 8 0.0375720 根据上述分析，在 CMP 加工中，抛光压力与转速对 JGS1、K9 光学表面分形维数有显著影响，但转速的显著性要远大于抛光压力。抛光压力的提高使 JGS1、K9 光学表面分形维数逐渐减小，减少幅度较小；转速的提高使 JGS1 光学表面分形维数逐渐增大，K9 光学表面分形维
22、数逐渐减小，且幅度较大。抛光参数对 JGS1 光学表面分形维数的显著性影响都要略大于 K9 光学表面的分形维数。4 结论本文利用光学元件表面的微观结构具有统计学上的自仿射性的特征,采用分形理论对JGS1、K9 光学玻璃表面质量的评价方法进行研究和探讨，并通过 CMP 抛光实验分析了JGS1、K9 光学玻璃表面的分形特征以及 CMP 抛光参数、分形维数、PV 值之间关系，得到以下结论：1）光学元件表面具有分型特性，且分形维数不受采样长度、仪器分辨率的影响，具有尺度不变性的特征，但一定程度上受采样点数的影响，大量的测量点数据会使分形维数趋于稳定。2）PV 值与分形维数 存在一定的近似线性关系，PV
23、 值越大，所对应的分形维数 的D D值就越小，可认为当 PV 值小且 D 大的，光学元件表面质量较高。3）CMP 抛光实验中，拟合出的 JGS1、K9 光学玻璃表面响应曲面回归模型方程适合用于表征分形维数 D 与抛光压力 P、转速 V 之间的关系，比较接近实际情况；抛光压力 P、转速 V 对分形维数的值都有显著影响，但转速 V 的影响要大得多。4）基于抛光参数、分形维数、PV 值之间关系，在今后实际加工中，应优先控制转速V，以取得较高的光学元件表面分形维数和较低的 PV 值，获得较好的光学元件表面质量，这为以后加工规划起到很好的指导作用。参考文献:1 戴斌飞. 面型精度评价方法研究D.苏州:苏
24、州大学,2005.2 Sayles RS, Thomas TR，Surface topography as a non-stationary random processJ. Nature，1978，271:431434.3 王贵林，李圣怡，戴一帆. 光学表面的分形特点与模拟表征算法J. 国防科技大学学报，2003，25（4）：72-75.4 朱华，姬翠翠. 分形理论及其应用M. 北京:科学出版社,2011.5 李小兵，刘莹. 表面形貌分形表征方法的比较J.南昌大学学报,2006，30（1）：84-86.6 葛世荣，朱华. 摩擦学的分形M. 北京:机械工业出版社,2005.7 王贵林，戴一帆，
25、郑子文. 光学表面的分形结构和表征算法J. 计量学报，2004，25（2）：97-99.8 张烘州，明伟伟，安庆龙，陈明，戎兵，韩冰. 响应曲面法在表面粗糙度预测模型及参数优化中的应用J. 上海交通大学学报，2010，44（4 ）：447-451.9 耿雷，刘春生，钟华燕，赵林. 电火花线切割加工表面形貌分形特征J. 黑龙江科技学院学报，2008，18（2）：114-117.10 高佳宏，王琳. 电解机械复合抛光表面的分形特性研究J. 煤矿机械，2007，28（4）：128-129.11 杨大勇，刘莹. 两种磨削表面形貌的分形表征J. 南昌太学学报，2007，29（3）：243-245.12
26、Montgomery DC (2001) Design and analysis of experimentsM. 2001,Wiley, New YorkOptical surface quality evaluation base on the fractal dimension and the response surface modelDONG Zhi-ran, YANG Wei*(School of Physics and Mechanical moreover, the establishment of fractal dimension and the polishing par
27、ameters of response surface regression model, each polishing parameter is evaluated on the influence of fractal dimension weight, in order to control significantly stronger polishing parameters to obtain better surface quality of the optical element, which make it play a guiding role in the actual processing of the future.Key words: optical surface; fractal dimension; RMS
