1、 1.3 两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(重点)2.能根据直线平行或垂直，求直线方程.(重点)基础初探教材整理 两条直线的位置关系阅读教材 P70 至 P71“例 11”以上部分，完成下列问题 .l1l 2 l1l 2l1、l 2 的倾斜角1、 2 间的关系1 2 |2 1|90图示斜率间的关系(若l1，l 2 的斜率都存在，设l1：yk 1xb 1，l 2：yk 2xb 2)若 l1，l 2 的斜率都存在，则 l1l 2k 1k 2 且b1b 2(如图所示) ；若 l1，l 2 的斜率都不存在，则 l1l 2(如图所示)或 l1与 l2 重合若 l1，l 2 的斜率
2、都存在，则 l1l 2k 1k21(如图所示)；若 l1，l 2 有一条直线的斜率不存在，则 l1l 2另一条直线的斜率为 0(如图所示)判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于 y 轴.( )(2)斜率相等的两条直线一定平行.( )(3)若 k1k21，则两直线必不垂直.( )(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率 k1，k 2 满足 k1k21.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)小组合作型两条直线平行与垂直的判定判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由.(1)l1：3x5y60，l 2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l
3、2：2xy20；(3)l1：x2，l 2：x4；(4)l1：y3，l 2：x1.【精彩点拨】 利用两直线的斜率和在坐标轴上截距的关系来判断.【自主解答】 (1)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y x ，l 2：y x .35 65 35 310则 k1 ， b1 ，k 2 ，b 2 .35 65 35 310k 1k 2，b 1b 2，l 1l 2.(2)将两直线方程分别化为斜截式：l1：y x ，l 2：y 2x2.12 73则 k1 ，k 22.k 1k21，l 1l 2.12(3)由方程知 l1x 轴，l 2x 轴，且两直线在 x 轴上的截距不相等，则 l1l 2.(4)由方程知 l1
4、y 轴，l 2x 轴，则 l1l 2.已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：(1)若两直线 l1 与 l2 的斜率均存在，当 k1k21 时， l1l 2；当 k1k 2，且它们在 y 轴上的截距不相等时，l 1l 2；(2)若两直线斜率均不存在，且在 x 轴的截距不相等，则它们平行；(3)若有一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直.再练一题1.两直线 2x yk0 和 4x2yk 0(k0)的位置关系为( )A.垂直 B.平行C.重合 D.平行或重合【解析】 直线 2xy k0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距为 k；直线4x2yk0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距为 ，因
5、为 k0，所以 k，所以两k2 k2直线平行.【答案】 B利用平行、垂直关系求直线方程已知点 A(2,2)和直线 l：3x 4y200.求：(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程；(2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程.【精彩点拨】 本题可以依据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出斜率后用点斜式来写出直线方程，也可以直接设出与已知直线平行或垂直的直线，然后用待定系数法求得.【自主解答】 法一：(1)由 l：3x 4y200，得 kl .34设过 A 点且平行于 l 的直线为 l1，则 kl1k l ，34所以 l1 的方程为 y2 (x2)，34即 3x4y140.(2)设过点 A 与
6、l 垂直的直线为 l2.因为 klkl21，所以 kl2 ，43故直线 l2 的方程为 y2 (x2)，43即 4x3y20.法二：(1)设过点 A 且平行于直线 l 的直线 l1 的方程为 3x4ym 0.由点 A(2,2)在直线 l1 上，得3242m0，解得 m14，故直线 l1 的方程为 3x4y 140.(2)设 l2 的方程为 4x3ym0.因为 l2 经过点 A(2,2)，所以 4232m0，解得 m2，故 l2 的方程为 4x3y 20.过点 A(x0，y 0)且与直线 AxBy C0 平行或垂直的直线方程的求法有两种方法：(1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程.(
7、2)与 AxByC0 平行或垂直的直线方程设为 AxBym0 或BxAym 0，再利用所求直线过点 A(x0，y 0)求出 m，便可得到直线方程。再练一题2.已知直线 l 的方程为 3x2y 120，求直线 l的方程，l 满足：(1)过点(1,3)，且与 l 平行；(2)过点(1,3)，且与 l 垂直.【解】 (1)由 l与 l 平行，可设 l方程为 3x2y m0.将点(1,3) 代入上式，得 m9，所求直线方程为 3x2 y90.(2)由 l与 l 垂直，可设 l方程为 2x3y n0.将(1,3)代入上式，得 n7，所求直线方程为 2x3 y70.探究共研型利用直线的平行与垂直求参数探究
8、 1 试确定 m 的值，使过点 A(m1,0)，B ( 5，m)的直线与过点C(4,3) ，D(0,5)的直线平行 .【提示】 k AB ，m 0 5 (m 1) m 6 mkCD .由于 ABCD，即 kABk CD，5 30 ( 4) 12所以 ，所以 m2.m 6 m 12探究 2 ABC 的顶点 A(5，1) ，B(1,1)，C(2， m)，试确定 m 的值，使ABC 是以 A 为直角顶点的三角形.【提示】 因为 A 为直角，则 ACAB，k ACkAB1，即 1，解得 m7.m 12 5 1 11 5已知直线 l1：2x(m1)y 40 与 l2：mx3y20.(1)若 l1l 2，
9、求 m 的值；(2)若 l1l 2，求 m 的值. 【导学号：39292082】【精彩点拨】 利用两直线平行或垂直的条件建立关于 m 的方程即可求解.【自主解答】 (1)法一：l 1l 2，Error!A 12，B 1m 1，C 14，A 2m，B 23，C 22，Error!即Error!解得 Error!m3 或 m2.法二：当 m1 时，直线 l1 的斜率 k1 ，在 y 轴上的截距 b12m 1；直线 l2 的斜率 k2 ，在 y 轴上的截距 b2 .4m 1 m3 23l 1l 2， 且 ，解得 m3 或 m2.2m 1 m3 4m 1 23当 m1 时，直线 l1 的斜率不存在，直
10、线 l2 的斜率 k2 ，显然不平行.13综上可知，当 m3 或 m2 时，直线 l1 与 l2 平行.(2)若 l1l 2，则有 2m (m1) 30，即 5m30，解得 m .351.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论.2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线 l1：A 1x B1yC 10，直线 l2：A 2xB 2yC 20.l 1l 2A 1B2A 2B10 且 B1C2B 2C10 或 A1C2A 2C10；l 1l 2A 1A2B 1B20.再练一题3.已知两直线方程 l1：9xy a20；l 2：ax (
11、a2)y10.求当 a 为何值时，直线 l1 与 l2：(1)相交；(2)平行.【解】 由题意知 A19，B 11，C 1a2，A 2a，B 2a2，C 21.(1)若 l1 与 l2 相交，则 A1B2A 2B10，即 9(a 2) a(1)0， a .95故当 a 时，直线 l1 与 l2 相交.95(2)若 l1l 2，则有Error!即Error!Error!当 a 时，l 1 与 l2 平行.951.已知 A(2,0)，B(3,3)，直线 lAB，则直线 l 的斜率 k( )A.3 B.3C. D.13 13【解析】 因为直线 lAB，所以 kk AB 3.3 03 2【答案】 B2
12、.过点( ， )，(0,3) 的直线与过点( ， )，(2,0)的直线的位置关系为( )3 6 6 2A.垂直 B.平行C.重合 D.以上都不正确【解析】 过点( ， )，(0,3)的直线的斜率 k1 ；过点(3 66 33 0 2 3， )，(2,0) 的直线的斜率 k2 .因为 k1k21，所以两条直6 22 06 2 3 2线垂直.【答案】 A3.若直线 2ay10 与直线 (3a1) xy10 平行，则实数 a 等于_.【解析】 因为两直线平行，所以 3a10，即 a .13【答案】 134.经过点(m,3)和(2，m)的直线 l 与斜率为4 的直线互相垂直，则 m 的值是_.【解析】 由已知得 (4)1，解得 m .m 32 m 145【答案】 1455.求满足下列条件的直线方程：(1)过点 A(1，4)，与直线 2x3y50 平行；(2)过点 A(1，4)，与直线 2x3y50 垂直. 【导学号：39292083】【解】 (1)设所求直线方程为 2x3yC 10，则由题意得 213(4)C 1 0，解得 C110，所以所求直线方程为 2x 3y100.(2)设所求直线方程为 3x2yC 20，则由题意得 312(4)C 20，解得 C25，所以所求直线方程为 3x 2y50.
