1、解析几何中的定值问题探究解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。一.角为定值例 1.在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ， 为圆 上一点若存xoyC4)1(2yxPC在一个定圆 ，过 作圆 的两条切线 ，切点分别为 ，当 在圆 上运动MPPBA, BA,时，使得 恒为 ，求圆 的方程AB06解：设定圆圆心 M ，半径为 ，动点 ，由题意知 ，,abr,xy2Mr即 ，224xy由于点 P 在圆 C：(x 1) 2y 24 上，所以有
2、 对任意 都成立，230r,xy所以 ，1,0abr所求圆方程为(x1) 2y 21变式：已知双曲线 的离心率 为 ,右准线方程为 .设)0,(2baxC： 33x直线 是圆 上动点 处的切线， 与双曲线 交于不同的l:2yO00yxPlC两点 ，证明： 的大小为定值.BA,B证明：由题意： 解得：32cae31ca所以 22b所以双曲线方程为： 12yx点 在圆 上，)0)(0yxP:2O圆在点 处的切线 的方程为 ,0l )(00xy化简得 20yx由 及 ,得 120yx202yx 0284)3020 xx（因为切线 与双曲线 交于不同的两点 且lCBA,20所以 ，且04320x )8
3、)(43(162020 xx设 两点的坐标分别为BA, ,),(2y则 438,43201201 xx因为 ,|cosOBA且 )2)(10102021 xxyxyxBOA043828 43)28(1)(40 020002 120101xxxx所以 为定值 .AOB09二.斜率定值（倾斜角定值）例 2. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 A(2,1)若 P，Q 是)0(12bayx23椭圆 C 上的两个动点，且使 PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解：方法一：因为椭圆 C 的离心率为 ，且过点 A(2,1)，23所以
4、，解得222314cba28ba所以椭圆 C 的方程为 128yx因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x2 对称设直线 PA 的斜率为 k，则直线 AQ 的斜率为k.所以直线 PA 的方程为 y1k(x 2)，直线 AQ 的方程为 y1k(x2) 设点 ，由),(),(21xQP128)(yxk得 046)6()42kkk（因为点 A(2,1)在椭圆 C 上，所以 x2 是方程的一个根，则 ，所以214kx218k同理 228所以 221221 46,46kxkx又 ，2121 8)(y所以直线 PQ 的斜率 ，121xykPQ所以直线 PQ 的斜
5、率为定值，该值为 .方法二 设直线 PQ 的方程为 ykxb，点 ),(),(21xyP则 ，kbk所以 ，1,21xyxQAPA因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x2 对称，所以 ，即QAPk211y化简得 04)()(121 xyx所以 21bkbk由 得 28yx 084)42x（则 ，2211,kbxk代入，得 044)(84)(22 b整理得 01k（所以 bk21或若 ，可得方程的一个根为 2，不符合题意所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为 .1变式：过抛物线 （ 0）上一定点 0） ，作两条直线分别交抛2ypx0(,)Pxy物线于
6、， ，求证： 与 的斜率存在且倾斜角互补时，直线1(,)Ax2(,)BAB的斜率为非零常数B证明：因为 与 的斜率存在且倾斜角互补P所以 BAk由 相减得，02011pxy101010()2()yypx故 10102PAK10()x同理可得， 2020PBypy20()x所以 1020py所以 120yy由 相减得，22px212121()()ypx 1220ABypK直线 的斜率为非零常数 0y三.线段长度定值例 3.如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，xo），（ 21F21:xl点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点，PlRPy.QFR,(1)求动点 的轨迹 的方程；C(2)设圆
7、 过 ，且圆心 在曲线 上， 是圆 在 轴上截得的弦，当 运动M)01(，ACTSMyM时，弦长 是否为定值？请说明理由|TS解 (1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 ，PFRQRQ 是线段 FP 的垂直平分线点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点 Q 到直线 的距离，l故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点， 为准线的抛物线，其方程为 l )0(2xy(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线 C 上点 ， 到 轴的距离为 ，),0yxM（ 0|xd圆的半径 ，201(|Ar则 ，2|2xydTS因为点 M 在曲线 C 上，所以 ，20所以 ，是定值12|
8、0xyTS变式 1：已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴上， 为定点，若动圆 过x)02(，PM点 ，且圆心 在抛物线 上运动。点 是圆 与 轴的两交点，试推断是否存在PCBA,My一条抛物线 ，使 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。C|AB解：设圆心 ，点 .)0(,abM),0(),21yB因为圆 过点 ，可设圆 的方程为：）（ 2P 22)()(babyax令 ，得0x4y所以 ,2121aby所以 164)()(| 22121 abyyAB设抛物线方程为： 02mx因为圆心 在抛物线 上，则MCab2所以 16)4(164| aAB由此可得，当 时， 为定值.m|A
9、B故存在一条抛物线 ，使 为定值 .xy2|变式 2：在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 与 ，圆o214xyF： 若 为椭圆上任意一点，以 为 圆 心 ， 为半径的圆 与圆F5)3(2yxPPOP的公共弦为 ，证明：点 到直线 的距离 为定值QTFQTFH解：（1） 得 (3,0)(,)(,)1,FMmn设 由 又 22()14.mn即 23)5.n由，得 ,.3(,(,-).3或（2）设点 ，则圆0(,)Pxy222000).Pxyxy的 方 程 为即 又圆 2.(3)5.F的 方 程 为由，得直线 QT 的方程为 00(3)1.xy所以 0220003()14.3xFHy
10、x TQPF HO y xF因为 在椭圆上，所以0(,)Pxy2220001,.44xxy即所以 0 0222 200003334.(1) ()44xFHxx 四.面积定值例 4.设 是椭圆 上的两点，已知向量),(),(21yxBA)(12bayx，,若 且椭圆的离心率 短轴长为 2， 为坐标)(),(21abnayxm0nm3eO原点. 试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.AOB解： 的面积为定值,证明如下：证明：由题意知 解得 223cbae31ba所以椭圆的方程为 42xy（1）当直线 斜率不存在时，即 ,由 得AB2121,yx0nm0421yx又 1
11、421xy所以 |,|11y所以 1|2|1|221 yxxSAOB所以三角形 的面积为定值 （2）当直线 斜率存在时：设 的方程为ABbkx由 得142xybk 042)422 bkx（所以 4,42121kkb由 得 0nm0421yx即 代入整理得：)(2121bkx（ 42kb所以 16|)(|1| 221212 kbxxABkSAOB1|4b所以三角形 的面积为定值 . AB1五.数量积定值例 5.已知圆 ，一条动直线 过点 与圆 相交于 两点，4)3(22yxC： l)01(，ACQP,是 的中点， 与直线 相交于 ,探索 是否与直线 的倾MPQl 06:yxmNMl斜角有关。若无
12、关，请求出其值；若有关，请说明理由解：因为 AN所以 ACMC)(当直线 与 x 轴垂直时，易知l ），（ 351则 )3(),50(， A所以 5NC当直线 与 x 轴不垂直时，设直线方程为：l )1(xky则由 得063)1(yk)3,16k（所以 )5,(kAN所以 513)( kACM综上所述： 与直线 的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且 .l 5ANM六.直线方程定式例 6.已知椭圆 的离心率 ，长轴的左右端点分别为 ，直线C23e )02(,(1，A与椭圆 交于 两点，直线 交于点 ，试问：当 变化时，点1myxCQP, QAP21与 Sm是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线
13、方程，并证明你的结论；若不是，请说明S理由。解：设椭圆 的方程为： ，)0(12bayx ),(),(21yx则 23,ace所以 1,b所以椭圆 的方程为：C42yx由 得：142myx 03)(2m则 4,42121 y直线 方程为： ，直线 方程为：PA1 )(1xQA2 )2(2xy由 得)2(21xy )(2)(1 xyxy即 12121122112 3)()3()()( ymymyxyxy 4)4(312ym所以当 变化时，点 恒在定直线 上Sx七.斜率积定值（椭圆一组性质）例 7.在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 C： 的上、下顶点分别为oy 142yx，点 在椭圆 上且异于
14、点 ，设直线 的斜率分别为 .BA,PCBA,P, 2,k求证： 为定值；21k 0AyxBoxPADFEyy证明：由题设 可知，点 .142yx)10(),， BA令 ，则由题设可知 . ),(0P0x所以，直线 的斜率 ， 的斜率为 . A1ykP021xyk又点 P 在椭圆上，所以 （x 00） ，从而有2041200021 yxyk变式 1（推广）：已知椭圆 的方程为： ，过原点的直线 交椭圆C)0(2bayx l于 两点， 为椭圆上异于 的任一点。求证： 为定值。CQP,MQP, MQPk证明：设 则),(),(01yx)1yx（所以 2101010kMQP由 得12021byax2120abxy所以 为定值2kMQP变式 2（应用）：如图，若 为椭圆 的右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于D124yx两点，直线 交直线 于 两点，求 的最小值 AP,P,3FE,|解：设 则 ,),(0yx)0yxA（ (，所以 200042xkDP又 1420yxP
