1.8 1.8 复系数与实系数 复系数与实系数 多项式的因式分解 多项式的因式分解 一、复系数多项式 1、代数基本定理 定理1 每个次数 的复系数多项式在复数域 中有一根.推论1 若 则存在 使得 即,每个次数 的复系数多项式在复数域上 必有一次因式. 推论2 复数域上不可约多项式只有一次多项式. 即 若 则 可约.2、复系数多项式因式分解定理 定理2 若 则 在 复数域上可唯一分解成一次因式的乘积. 推论3 若 则 在 上具有标准分解式 其中 是不同的复数， 推论4 每个 次复系数多项式恰有 个根(重 根按重数计算).3、韦达定理 定理3 设 有 个复根 ,则二、实系数多项式 命题1 若 是实系数多项式 的复根,则 的共轭复数 也是 的根. 两边取共轭有 也是为 复根 证：设 若 为 的根，则 即,命题2 实系数不可约多项式只能是一次多项式 和某些二次多项式. 证: 设 是实系数不可约多项式. 若 下证 即可. 由代数基本定理, 存在复根 则 也是 的根,即 注意到 (否则, ,则 在 上 存在一次因式,这与 实不可约相矛盾.) 所以,又 实不可约且 所以 是二次多项式. 实系数多项
