蝴蝶定理的八种证明及三种推广(共5页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 蝴蝶定理的证明 定理：设M为圆内PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则 ，于是。证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即而 由、知，故。证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ，由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。22 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven给出）如图5，并令由，即化简得 即 ，从而 。