1、第 15 讲 三角函数的图像和性质项目一 知识概要1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2的图像中，五个关键点：(0,0)，( ，1)，(，0)，( ，1) ，2 32(2，0)余弦函数 ycos x，x 0,2的图像中，五个关键点：(0,1)，( ，0)，( ，1)，( ，0)，2 32(2，1)2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数 ysin x ycos x ytan x图像定义域 R Rx|xR 且x k，k Z2值域 1,1 1,1 R单调性 2k， 2k2 2(kZ)上递增； 2k， 2k2 32(kZ)上递减2k，2 k(kZ)上递增；2k
2、，2k (kZ)上递减( k， k)2 2(kZ)上递增最值x 2k(k Z)时，2ymax1 ；x 2k(k Z)时，2ymin1x2k(kZ)时，ymax1 ；x2k(k Z)时，ymin1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心 (k， 0)(k Z) ( k，0) (kZ)2( ，0)(kZ)k2对称轴方程 x k(kZ)2xk(k Z)周期 2 2 项目二 例题精讲任务一 求三角函数的定义域和最值问题【例 1】 (1)函数 y2sin (0x 9) 的最大值与最小值之和为 ( )(x6 3)A2 B0 C1 D13 3(2)函数 y 的定义域为 _1tan x 1分析 求函数的定义域可
3、利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识答案 (1)A (2)x| x k 且 x k，kZ4 2解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值0x9， x ，3 6 3 76sin .(6x 3) 32，1y ，y maxy min 2 . 3，2 3(2)要使函数有意义，必 须有Error!，即Error!故函数的定义域为x| x k 且 x k，kZ 4 2评注 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解(2)求解三角函数的值域(最值 )常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos x c 的
4、三角函数化为 yAsin(x )k 的形式，再求最值(值域)；形如 yasin 2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化 为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t的二次函数求值域(最值) 任务二 三角函数的单调性和周期性问题【例 2】 写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin ；(2) y|tan x|.( 2x 3)分析 (1)化为 ysin ，再求单调区间及周期(2)由 ytan x 的图像y|tan x|(2x 3)的图像求单调性及周期解析 (1)ysin
5、 ，(2x 3)它的增区间是 ysin 的减区间，(2x 3)它的减区间是 ysin 的增区间(2x 3)由 2k 2x 2k ，kZ，2 3 2得 k xk ，kZ.12 512由 2k 2x 2k ，kZ，2 3 32得 k xk ，kZ.512 1112故所给函数的减区间为 ，kZ ；k 12，k 512增区间为 ，kZ .k 512，k 1112最小正周期 T .22(2)观察图像可知，y |tan x|的增区间是 ，kZ，减区间是 ，kZ .k，k 2) (k 2，k最小正周期 T.评注 (1)求形如 yAsin(x )或 yAcos( x)(其中，0)的单调区间时，要视“x ”为一
6、个整体，通过解不等式求解但如果 0，函数 f(x)sin(x )在( ，) 上单调递减，则 的取值范围是( )4 2A ， B ， C(0， D(0,212 54 12 34 12(2)已知函数 f(x)2cos( x)b 对任意实数 x 有 f(x )f(x)成立，且 f( )1，则4 8实数 b 的值为 ( )A1 B3 C1 或 3 D3(3)已知 0,00)的形式2 函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期 为 ，ytan(x)的最小正周期2|为 .|3 对于函数的性质(定义域、 值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx ，将其 转化为研究 ysin t 的
7、性质4 闭区间上最值或值域问题，首先要在定 义域基础上分析 单调性，含参数的最 值问题，要讨论参数对最值的影响5 要注意求函数 yA sin(x )的单调区间时 的符号，尽量化成 0 时情况项目四 冲刺必练A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 下列函数中，周期为 且在0 ， 上是减函数的是 ( )2Aysin(x ) By cos( x )4 4Cy sin 2x Dycos 2x答案 D解析 对于函数 ycos 2x，T，当 x0 ， 时，2x 0，y cos 2x 是减函数22 函数 f(x)sin x cos 的值域为 ( )(x 6)A2,2 B ， 3 3C1,1 D
8、. 32，32答案 B解析 将函数化为 yA sin(x)的形式后求解f(x)sin xcos (x 6)sin x cos xcos sin xsin 6 6sin x cos x sin x32 12 3( 32sin x 12cos x) sin (xR)，3 (x 6)f(x)的值域为 ， 3 33 已知函数 f(x)Acos(x )(A0，0，R)，则“ f(x)是奇函数”是“ ”的2( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 f(x )Acos Asin x 为奇函数，“f(x)是奇函数”是“ ”2 (x 2) 2的必要条件又 f(x
9、)Acos(x)是奇函数f (0)0 k (kZ )D/ .2 2“f(x )是奇函数”不是“ ”的充分条件24 函数 ycos 2xsin 2x，xR 的值域是 ( )A0,1 B ，1 C1,2 D0,212答案 A解析 ycos 2xsin 2xcos 2x .1 cos 2x2 1 cos 2x2cos 2x1,1， y 0,15 将函数 f(x)sin x(其中 0)的图像向右平移 个单位长度，所得图像经过点 ，4 (34，0)则 的最小值是 ( )A. B1 C. D213 53答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为 ysin ，(x 4)将 代入得 sin 0，则 2k， k
10、Z，且 0，(34，0) 2故 的最小值为 2.6若函数 f(x)sin ax cos ax(a0)的最小正周期为 1，则它的图像的一个对称中心为( )A( ，0) B(0,0) C( ，0) D( ，0)8 18 18答案 C解析 由条件得 f(x) sin(ax )，24又函数的最小正周期为 1，故 1， a2 ，2a故 f(x) sin(2x )24将 x 代入得函数值为 0.18二、填空题7 函数 ycos( 2x)的单调减区间为_4答案 k ，k (kZ)8 58解析 由 ycos( 2x)cos(2x )得4 42k2x 2k(kZ)，4故 k xk (kZ)8 58所以函数的单调
11、减区间为k ，k (kZ )8 588 函数 ysin x 的定义域为a ，b，值域为1， ，则 ba 的最大值为_12答案 43解析 由正弦函数的图像知(ba) max .136 56 439 已知函数 f(x)Atan(x )(0，|0，( ， )的最小正周期为 ，且其图像关于直线 x2 2 12对称，则在下面四个结论：图像关于点( ，0)对称； 图像关于点( ，0)对称；在4 30，上是增函数； 在 ，0上是增函数中，所有正确结论的编号为 _6 6答案 解析 T，2.又 2 k (kZ )， k (kZ)12 2 3( ， )， ，y sin(2x )，22 3 3由图像及性质可知正确三
12、、解答题11 设函数 f(x)sin ( 0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线 x .(2x )8(1)求 ；(2)求函数 yf(x )的单调增区间解 (1)令 2 k ，kZ， k ，kZ，8 2 4又 0，则 .34(2)由(1)得：f(x)sin ，(2x 34)令 2k2x 2k， kZ，2 34 2可解得 k x k ，kZ，8 58因此 yf(x) 的单调增区间为 ，kZ.8 k，58 k12设函数 f(x)sin( )2cos 2 1.x4 6 x8(1)求 f(x)的最小正周期(2)若函数 yg(x)与 yf( x)的图像关于直线 x1 对称，求当 x0， 时，yg(x) 的最43大值解 (1)f(x) sin cos cos sin cos x4 6 x4 6 x4 sin cos 32 x4 32 x4 sin( )，3x4 3故 f(x)的最小正周期为 T 8.24(2)方法一 在 yg(x)的图像上任取一点(x， g(x)，
