1、基于数学思维的课堂教学设计“两角差的余弦公式”的同课异构新课程提倡实践经历的探索反思，使教学内容充满生机，让数学思维和思想化为一种鲜活的场景。思维是数学的核心，如何在课堂中彰显智慧，需要我们退回思维起点，寻找学生知识的生长点和固着点进行教学设计，动态高效地生成教学。下面就“两角差的余弦公式”课题引入开展同课异构，探讨基于数学思维的课堂教学设计遵循的原则。一、教学设计片段 1：铺垫练习引入练习：1. 是第_象限角，其终边与单位圆的交点坐标为_542.已知点 ，则 A，B 两点的距离 =_,0ABAB3.求值： =_， =_9cos60cos(12)4. =_015学生：猜想 =0cs000(45
2、3)cs45o3教师：对于任意角 角 的三角函数能用 的三角函数表示吗？如何研,究三角函数值？学生：从三角函数单位圆定义出发。问题 1：你能用 的三角函数表示任意角 与单位圆的交点坐标吗？, ,问题 2： 能用 表示吗？AOB问题 3：我们要研究 的三角函数，必须把 放置到什么位置？AOB问题 4：将任意角 的终边 OA，OB 绕点 O 旋转 后转到 OA，OB的位置后，, 则点 A，B的坐标是什么？问题 5：两个图形中，任意角 旋转前后那些量不变？,学生：在任务驱动下，自主探究，回归到三角函数单位圆定义，发现 旋转前后两点,距离 = AB，由两点距离公式得ABsincos)cos( 13,2
3、xyOA 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷 3k03B 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷xyOA 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷 3k03B 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷片段 2：课本 P108B 组第 2 题改编引入问题 1：已知向量, cos75,in,cos15,in,ab(1) 求 b(2) 求 与 夹角 的余弦值学生：
4、通过数量积坐标运算得 ，通过几何运算得ssi7= ，其中acos222275in1,co5in1b教师： 能确定吗？学生：在单位圆中 角终边和单位圆的交点就分别是两个向量的终点，可知 与,5 a夹角 ，则有b60cos(71)cos751sin751教师：有更一般的结论吗？学生：归纳，猜想： i)( 问题 2：在平面直角坐标系中，单位圆上有两点 试用cos,n,cos,in,ABA，B 两点的坐标表示 。cosAOB学生：构造两个向量 ， ，a(,sin)b(,i)由向量数量积的坐标运算和几何运算有： ， =abcossiacoscsAOB所以 coinsAOB教师： 能用 表示吗？,片段 3
5、：特殊角的三角函数关系引入问题 1：（1）求值 ： ，0cos450s3（2） =0 0()co45s3是 否 成 立 ？学生：计算器验证或估算 ，得到等式不成立01教师： 三个角之间有关系，那么它们三角函数值之间有关系吗？0045,3变式：（3）求值 ： ， ，0cos20cs0os(3)教师：诱导公式怎么得到的？学生：单位圆中三角函数的定义教师：能讲出具体的操作步骤吗？学生：通过寻找角的关系，得到角终边的对称关系，角终边与单位圆交点的对称关系，由点的坐标结合三角函数的定义得到诱导公式。xyOA 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投
6、掷 3k03B 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷教师：类比诱导公式的推导方法，探究 三角函数值之间的关系。0045,31学生： 角与单位圆交点的坐标为045,30cosin,cos3,in,AB教师：单位圆中，你能给 赋予几何含义吗？15能用 A，B 两点坐标求出其余弦值吗?学生： 为向量 的夹角， ，015,OA(cos,in)OB(cos,in)，cos430sin4530 4530A所以 ()cis教师：有更一般的结论吗？怎样证明？问题 2：证明： inos)cos( 二、教学设计反思片段 1 教学设计的认为：学生知识的生
7、长点为三角函数的单位圆定义。练习导入，起点低，从开始让学生主动参与到探究中来，有一定的思维梯度，为知识的生长作好铺垫。以问题串的形式引领学生解决问题，关注学生的学习过程与方法，让思维合理生成。片段 2 教学设计的认为：学生知识的生长点为平面向量的数量积运算。采取从特殊到一般的方法，符合认知发展规律，让学生利用平面向量的数量积的坐标运算与几何运算探究出两角差的余弦公式，进而推广到一般情形，知识层面与方法层面都能进行类比，从而突破教学难点。片段 3 教学设计的认为：学生知识的生长点为三角函数的单位圆定义与平面向量的数量积运算。最大限度地让学生参与到课堂教学中来，通过不断地提出问题引领学生不断观察，独立思考，给学生提供了较大的思维空间。采取从特殊到一般的方法，符合认知发展规律，在结论的探究过程中归回三角函数概念本质，以平面向量的数量积为工具，体现了平面向量的工具性。合理科学的课堂教学设计要以“最近发展区理论”为指导，寻找知识的生长点和固着点，符合学生的认知发展规律，教师扮演的角色是组织者、引领者和合作者，不是联通两岸的桥梁，而是黑暗中的一盏明灯。xyOA 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷 3k03B 少 ？次 针 尖 向 上 的 概 率 是 多 ）（次 图 钉 出 现类 似 的 ， 连 续 投 掷
