第五节 二阶常系数齐次线性 微分方程 一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结一、定义 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 其中 p 、q 为常数二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 问题:例如三、二阶常系数齐次线性方程解法 -特征方程法 将其代入方程, 得 故有 特征方程 特征根 特征根 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 有一对共轭复根 由欧拉公式重新组合 得齐次方程的通解为定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得特征根 故所求通解为 例1解 特征方程为 解得特征根 故所求通解为 例2四、n 阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项注意 n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例3五、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤
