1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学理一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内复数 Z=i(1-2i)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：复数 Z=i(1-2i)=2+i复数 Z 的实部 20，虚部 10复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限答案：A2.对任意等比数列a n，下列说法一定正确的是( )A.a1，a 3，a 9成等比数列B.a2，a 3，a 6成等比数列C. a2，a 4，a 8成等比数列D. a3，a 6，a 9成等比数列解析：A 项中
2、a3=a1q2，a 1a9= q8，(a 3)2a 1a9，故 A 项说法错误，B 项中(a 3)2=(a1q2)2a 2a6= q6，故 B 项说法错误，C 项中(a 4)2=(a1q3)2a 2a8= q8，故 B 项说法错误，D 项中(a 6)2=(a1q5)2=a3a9= q10，故 D 项说法正确，答案：D.3.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A. =0.4x+2.3B. =2x-2.4C. =-2x+9.5D. =-0.3x+4.4解析：变量 x 与 y 正相关，可以排除 C，D；样本平均数 =
3、3， =3.5，代入 A 符合，B 不符合，答案：A.4.已知向量 =(k，3)， =(1，4)， =(2，1)且(2 -3 ) ，则实数 k=( )A. -B. 0C. 3D.解析： =(k，3)， =(1，4)， =(2，1)2 -3 =(2k-3，-6)，(2 -3 ) ，(2 -3 ) =02(2k-3)+1(-6)=0，解得 k=3.答案：C.5.执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填入的条件是( )A. sB. sC. sD. s解析：由程序框图知：程序运行的 S= ，输出的 k=6，S= = ，判断框的条件是 S ，答案：C.6.已知命题 p：对任意 xR
4、，总有 2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A.pqB.pqC.pqD.pq解析：根据指数函数的性质可知，对任意 xR，总有 2x0 成立，即 p 为真命题，q：“x1”是“x2”的必要不充分条件，即 q 为假命题，则 pq，为真命题，答案：D.7.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为( )A. 54B. 60C. 66D. 72解析：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的等腰直角三角形，AB平面 BEFC，ABBC，BC=5，FC=2
5、，AD=BE=5，DF=5几何体的表面积 S= 34+ 35+ 4+ 5+35 =60.答案：B.8.设 F1，F 2分别为双曲线 - =1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2|=3b，|PF 1|PF2|= ab，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.3解析：不妨设右支上 P 点的横坐标为 x由焦半径公式有|PF 1|=ex-a，|PF 2|=ex+a，|PF 1|+|PF2|=3b，|PF 1|PF2|= ab，2ex=3b，(ex) 2-a2= ab b2-a2= ab，a= b，c= = b，e= = .答案：B.9.某次联欢会要安排三个歌舞
6、类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168解析：分 2 步进行分析：1、先将三个歌舞类节目全排列，有 A33=6 种情况，排好后，有 4 个空位，2、因为三个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空位必须安排 2 个节目，分 2 种情况讨论：、将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 C21A22=4 种情况，排好后，最后 1 个小品类节目放在 2 端，有 2 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 642=48 种；、将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有 A22=2 种情况，排好
7、后，有 6 个空位，相声类节目有 6 个空位可选，即有 6 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 626=72 种；则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120，答案：B.10.已知ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ，面积 S 满足1S2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是( )A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24解析：ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ，sin2A+sin2B=-sin2C+ ，s
8、in2A+sin2B+sin2C= ，2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)= ，2sinA(cos(B-C)-cos(B+C)= ，化为 2sinA-2sinBsin(-C)= ，sinAsinBsinC= .设外接圆的半径为 k，由正弦定理可得： =2R，由 S= ，及正弦定理得 sinAsinBsinC= = ，即 R2=4S，面积 S 满足 1S2，4R 28，由 sinAsinBsinC= 可得 ，显然选项 C，D 不一定正确，A.bc(b+c)abc8 正确，B.bc(b+c)abc，但 bc(b+c) .不一定正确，答案：A二、填空题：本大题共 3 小题，每小题
9、5 分共 15 分把答案填写在答题卡相应位置上.11.设全集 U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，则( UA)B= .解析：全集 U=nN|1n10，A=1，2，3，5，8，B=1，3，5，7，9，( UA)=4，6，7，9 ，( UA)B=7，9，答案：7，9.12.函数 f(x)=log2 (2x)的最小值为 .2log解析：f(x)=log 2 (2x)f(x)= log (2x)= log x (2x)2l 2log= l ( x+l 2)2oglog= x( x+2)=当 x+1=02log即 x= 时，函数 f(x)的最小值是 .答案：-13.已知直
10、线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) 2+(y-a)2=4 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a= .解析：圆心 C(1，a)，半径 r=2，ABC 为等边三角形，圆心 C 到直线 AB 的距离 d= ，即 d= ，平方得 a2-8a+1=0，解得 a=4 ，答案：4三、选做题：考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作割线 PBC 依次交圆于 B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则 AB= .解析：由题意，PAB=C，APB=CPA，PABPCA
11、， ，PA=6，AC=8，BC=9， ，PB=3，AB=4，答案：4.15.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2-4cos=0(0，02)，则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 = .解析：直线 l 的参数方程为 ，普通方程为 y=x+1，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2-4cos=0 的直角坐标方程为 y2=4x，直线 l 与曲线 C 联立可得(x-1) 2=0，x=1，y=2，直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 = = .答案： .16.不等式|2x-1|+|x+2|a 2+ a+2 对
12、任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .解析：|2x-1|+|x+2|= ，x= 时，|2x-1|+|x+2|的最小值为 ，不等式|2x-1|+|x+2|a 2+ a+2 对任意实数 x 恒成立，a 2+ a+2 ，a 2+ a- 0，-1a ，实数 a 的取值范围是-1， .答案：-1， .四、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13 分)已知函数 f(x)= sin(x+)(0，- )的图象关于直线 x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .()求 和 的值；()若 f( )= ( )，求 cos(+ )的值.解析：()由题
13、意可得函数 f(x)的最小正周期为 求得 =2.再根据图象关于直线 x=对称，结合- 可得 的值.()由条件求得 sin(- )= .再根据 - 的范围求得 cos(- )的值，再根据cos(+ )=sin=sin(- )+ ，利用两角和的正弦公式计算求得结果.答案：()由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 ， =，=2.再根据图象关于直线 x= 对称，可得 2 +=k+ ，kz.结合- 可得 =- .()f( )= ( )， sin(- )= ，sin(- )= .再根据 0- ，cos(- )= = ，cos(+ )=sin=sin(- )+ =sin(- )cos +cos(- )si
14、n = + = .18.(13 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片.()求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；()X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望.(注：若三个数字a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数.)解析：第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量 X 的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字
15、(如 1 或 2)或不同数字(1 和 2、1 和 3、2 和 3 三类)的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现.答案：()由古典概型的概率计算公式得所求概率为 P= ，()由题意知 X 的所有可能取值为 1，2，3，且P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)= ，所以 X 的分布列为：所以 E(X)= .19.(13 分)如图，四棱锥 P-ABCD，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面ABCD，AB=2，BAD= ，M 为 BC 上的一点，且 BM= ，MPAP.()求 PO 的长；()求二面角 A-PM-C
16、 的正弦值.解析：()连接 AC，BD，以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 方向为 x，y，z 轴正方向建立空间坐标系 O-xyz，分别求出向量 ， 的坐标，进而根据 MPAP，得到 =0，进而求出 PO 的长；()求出平面 APM 和平面 PMC 的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角 A-PM-C 的正弦值.答案：()连接 AC，BD，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面 ABCD，故 ACBD=O，且 ACBD，以 O 为坐标原点，OA，OB，OP 方向为 x，y，z 轴正方向建立空间坐标系 O-xyz，AB=2，BAD= ，OA=ABcos( B
17、AD)= ，OB=ABsin( BAD)=1，O(0，0，0)，A( ，0，0)，B(0，1，0)，C(- ，0，0)，=(0，1，0)， =(- ，-1，0)，又BM= ， =(- ，- ，0)，则 = + =(- ， ，0)，设 P(0，0，a)，则 =(- ，0，a)， =( ，- ，a)，MPAP， = -a2=0，解得 a= ，即 PO 的长为 .()由()知 =(- ，0， )， =( ，- ， )， =( ，0， )，设平面 APM 的法向量 =(x，y，z)，平面 PMC 的法向量为 =(a，b，c)，由 ，得 ，令 x=1，则 =(1， ，2)，由 ，得 ，令 a=1，则 =
18、(1，- ，-2)，平面 APM 的法向量 和平面 PMC 的法向量 夹角 满足：cos= = =- ，故 sin= = .20.(12 分)已知函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a，b，cR)的导函数 f(x)为偶函数，且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为 4-c.()确定 a，b 的值；()若 c=3，判断 f(x)的单调性；()若 f(x)有极值，求 c 的取值范围.解析：()根据函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a，b，cR)的导函数 f(x)为偶函数，且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为 4-c，构造关于 a，b 的方程，可得 a，
19、b 的值；()将 c=3 代入，利用基本不等式可得 f(x)0 恒成立，进而可得 f(x)在定义域 R 为均增函数；()结合基本不等式，分 c4 时和 c4 时两种情况讨论 f(x)极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案.答案：()函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a，b，cR)，f(x)=2ae 2x+2be-2x-c，由 f(x)为偶函数，知 f(-x)=f(x)，即 2(a-b)(e2x+e-2x)=0，即 a=b，又曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为 4-c，即 f(0)=2a+2b-c=4-c，故a=b=1；()当 c=3 时，f(x)=2e 2x+2e
20、-2x-32 =10 恒成立，故 f(x)在定义域 R 为均增函数；()由()得 f(x)=2e 2x+2e-2x-c，而 2e2x+2e-2x2 =4，当且仅当 x=0 时取等号，当 c4 时，f(x)0 恒成立，故 f(x)无极值；当 c4 时，令 t=e2x，方程 2t+ -c=0 的两根均为正，即 f(x)=0 有两个根 x1，x 2，当 x(x 1，x 2)时，f(x)0，当 x(-x 1)(x 2，+)时，f(x)0，故当 x=x1，或 x=x2时，f(x)有极值，综上，若 f(x)有极值，c 的取值范围为(4，+).21.(12 分)如图，设椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 D 在椭圆上.DF1F 1F2， =2 ，DF 1F2的面积为 .()求椭圆的标准方程；()设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.
